Disequazioni logaritmiche
salve atutti sono nuovo in questo forum e avei bisogno di una mano a risolvere questa disequazione log in base 3 di log in base3 dix >0 per favore aiutatemi ......
Risposte
È questa $log_3(log_3 x)>0$ ?
Caro Pinto, io ti rispondo, ma tu dovresti fare lo "sforzo" di imparare a scrivere con le formule, anche perchè se no dobbiamo riuscire a interpretare quello che dici a parole.
Dando per scontato quindi che il tuo problema sia quello che ha puntualizzato melia, si procede in questo modo:
prima di tutto devi considerare le condizioni di esistenza.
Ciò che ti limita il dominio (cioè il C.E. condizioni di esistenza) sono in generale denominatori, radici quadrate, logaritmi...
In questo caso hai dei logaritmi e sai che l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0, cioè se hai $log(x)$ devi imporre $x>0$ e se hai $log(x+2)$ devi imporre $x+2>0$ cioè $x> -2$.
Nel tuo caso hai 2 logaritmi e devi imporre:
$x>0$ per il logaritmo più interno
$log_3(x)>0$ per il logaritmo più esterno.
Ottieni quindi le tue condizioni di esistenza mettendo a sistema queste 2 disequazioni:
$\{(x>0),(log_3(x)>0):}$ e quindi $\{(x>0),(x>3^0):}$ e quindi $\{(x>0),(x>1):}$ che dà come soluzione $x>1$.
Questa è la tua condizione di esistenza.
Ora si passa a risolvere la disequazione vera e propria:
$log_3(log_3(x))>0$.
Possiamo fare un cambio di variabile $y=log_3(x)$ e quindi la tua disequazione diventa $log_3(y)>0$ che viene risolta come nel sistema e dà $y>3^0$ cioè $y>1$.
A questo punto al posto di y rimetto ciò che avevo sostituito, cioè $log_3(x)$.
Allora $y>1$ significa $log_3(x)>1$ cioè $x>3^1$ cioè $x>3$.
Metto ora a sistema questa soluzione che ho trovato con le condizioni di esistenza che mi ero calcolato all'inizio e ho:
$\{(x>1),(x>3):}$ che mi dà come soluzione finale $x>3$.
Un'ultima cosa:
in ogni passaggio dal logaritmo all'esponenziale, cioè nel passare ad esempio da $log_3(y)>0$ a $y>3^0$ ho tenuto il verso della disuguaglianza (cioè ho tenuto $>$ e non ho messo $<$) perchè la base del logaritmo ($3$ in questo caso) è più grande di 1.
Altrimenti avrei dovuto cambiare il verso della disuguaglianza.
Cioè se avessi $log_(1/3)(y)>0$ dovrei scrivere $y<(1/3)^0$
Dando per scontato quindi che il tuo problema sia quello che ha puntualizzato melia, si procede in questo modo:
prima di tutto devi considerare le condizioni di esistenza.
Ciò che ti limita il dominio (cioè il C.E. condizioni di esistenza) sono in generale denominatori, radici quadrate, logaritmi...
In questo caso hai dei logaritmi e sai che l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0, cioè se hai $log(x)$ devi imporre $x>0$ e se hai $log(x+2)$ devi imporre $x+2>0$ cioè $x> -2$.
Nel tuo caso hai 2 logaritmi e devi imporre:
$x>0$ per il logaritmo più interno
$log_3(x)>0$ per il logaritmo più esterno.
Ottieni quindi le tue condizioni di esistenza mettendo a sistema queste 2 disequazioni:
$\{(x>0),(log_3(x)>0):}$ e quindi $\{(x>0),(x>3^0):}$ e quindi $\{(x>0),(x>1):}$ che dà come soluzione $x>1$.
Questa è la tua condizione di esistenza.
Ora si passa a risolvere la disequazione vera e propria:
$log_3(log_3(x))>0$.
Possiamo fare un cambio di variabile $y=log_3(x)$ e quindi la tua disequazione diventa $log_3(y)>0$ che viene risolta come nel sistema e dà $y>3^0$ cioè $y>1$.
A questo punto al posto di y rimetto ciò che avevo sostituito, cioè $log_3(x)$.
Allora $y>1$ significa $log_3(x)>1$ cioè $x>3^1$ cioè $x>3$.
Metto ora a sistema questa soluzione che ho trovato con le condizioni di esistenza che mi ero calcolato all'inizio e ho:
$\{(x>1),(x>3):}$ che mi dà come soluzione finale $x>3$.
Un'ultima cosa:
in ogni passaggio dal logaritmo all'esponenziale, cioè nel passare ad esempio da $log_3(y)>0$ a $y>3^0$ ho tenuto il verso della disuguaglianza (cioè ho tenuto $>$ e non ho messo $<$) perchè la base del logaritmo ($3$ in questo caso) è più grande di 1.
Altrimenti avrei dovuto cambiare il verso della disuguaglianza.
Cioè se avessi $log_(1/3)(y)>0$ dovrei scrivere $y<(1/3)^0$
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