Disequazioni integrali

[Daniele Florian]

Potreste spiegarmi questi tre passaggi con disequazioni di integrali?
Non capisco se usa la disuguaglianza di Holder ma in ogni caso non mi torna al 100%

$ u(x)-u(y)=int_(y)^(x) u'(t) dt$
$|u(x)-u(y)| \leq (int_0^1 |u'|^2 dx) ^(1/2)*|x-y|^(1/2)$
$|u(x)| \leq |u(0)|+(int_0^1 |u'|^2 dx) ^(1/2) $

[gugo82]

Basta applicare Cauchy-Schwarz con \(f=u^\prime\) e \(g=\chi_{[x,y]}\): infatti:
\[
\left|\int_x^y u^\prime\right| \leq \int_x^y |u^\prime| = \int_0^1 \chi_{[x,y]}\ |u^\prime| \stackrel{\text{CS}}{\leq} \lVert u^\prime \lVert_2\ \lVert \chi_{[x,y]}\rVert_2 = \lVert u^\prime \rVert_2\ |x-y|^{1/2}
\]
e poi tenere presente che \(|x-y|^{1/2}\leq |0-1|^{1/2} =1\).

[Daniele Florian]

mi ero fissato con poincarè e la dis di holder e mi ero perso in un bicchiere d acqua..
grazie!