Disequazioni Goniometriche con tg(x/2)
Salve a tutti avrei delle perplessità per quanto concerne questa due disequazione :
n1:
$ \sqrt{3}*\sin(x) + \cos(x) >=0 $
Ho provato ha risolvere usando le parametriche cioè \sqrt{3}((2t)/(1+t^2)) + ((1-t^2)/(1+t^2)) comunque alla fine ho il seguente risultato:
$ 2*\sqrt{3}*t + 1 - t^2 >= 0 $
allora
$ t^2 -2*\sqrt{3}*t -1 <=0 $
ricavando t uno due ho i seguenti valori :
$ t1 = \sqrt{3} - 2 $
$ t2 = \sqrt{3} + 2 $
ora sapendo che devo prendere valori esterni allora:
$ tan(x/2)<= \sqrt{3} - 2 $
oppure
$ tan(x/2) >= \sqrt{3} + 2 $
Il mio problema è il seguente:
Quando svolgo una disequazione quelle con cosx oppure senx quando arrivo al risultato mi basta fare il grafico e poi tracciare una linea e visualizzare i valori...ad esempio se voglio vogliamo valori $ \sin(x) >= 0,2 $ traccio una linea sul piano cartesiano e poi vedo per quali angoli $ \sin(x) $ mi da valori maggiori di $ 0.2 $. La mia domanda è dato che stavolta ho la $ tan(x/2) $ come devo ragionare ? Qualcuno mi può dare delle delucidazioni nel modo più semplice possibile?
la seconda disequazione è:
$ 3\sin(x)-\sqrt{3}*\cos(x)<=0 $
usando sempre la parametriche il problema è sempre lo stesso mi sono bloccato al punto in cui devo tracciare il grafico per poter ricavare le soluzioni come devo fare? come si deve ragionare con $ tan(x/2) $ ?
n1:
$ \sqrt{3}*\sin(x) + \cos(x) >=0 $
Ho provato ha risolvere usando le parametriche cioè \sqrt{3}((2t)/(1+t^2)) + ((1-t^2)/(1+t^2)) comunque alla fine ho il seguente risultato:
$ 2*\sqrt{3}*t + 1 - t^2 >= 0 $
allora
$ t^2 -2*\sqrt{3}*t -1 <=0 $
ricavando t uno due ho i seguenti valori :
$ t1 = \sqrt{3} - 2 $
$ t2 = \sqrt{3} + 2 $
ora sapendo che devo prendere valori esterni allora:
$ tan(x/2)<= \sqrt{3} - 2 $
oppure
$ tan(x/2) >= \sqrt{3} + 2 $
Il mio problema è il seguente:
Quando svolgo una disequazione quelle con cosx oppure senx quando arrivo al risultato mi basta fare il grafico e poi tracciare una linea e visualizzare i valori...ad esempio se voglio vogliamo valori $ \sin(x) >= 0,2 $ traccio una linea sul piano cartesiano e poi vedo per quali angoli $ \sin(x) $ mi da valori maggiori di $ 0.2 $. La mia domanda è dato che stavolta ho la $ tan(x/2) $ come devo ragionare ? Qualcuno mi può dare delle delucidazioni nel modo più semplice possibile?
la seconda disequazione è:
$ 3\sin(x)-\sqrt{3}*\cos(x)<=0 $
usando sempre la parametriche il problema è sempre lo stesso mi sono bloccato al punto in cui devo tracciare il grafico per poter ricavare le soluzioni come devo fare? come si deve ragionare con $ tan(x/2) $ ?
Risposte
Sinceramente non capisco perché incasinarsi con le formule parametriche per roba da terzo superiore...
Introducendo le due variabili asusiliarie \(X=\cos x\) ed \(Y=\sin x\) le soluzioni della disequazioni sono rappresentate da tutti i punti del piano \(XY\) che stanno contemporaneamente sulla circonferenza di equazione \(X^2+Y^2=1\) (relazione fondamentale della trigonometria) e nel semipiano individuato dalla disuguaglianza \(\sqrt{3}\ Y+X\geq 0\), cioé il semipiano sopra la retta d'equazione \(Y=-\frac{\sqrt{3}}{3}\ X\).
L'arco di circonferenza che soddisfa le limitazioni imposte sopra è quello i cui estremi si ottengono risolvendo il sistema:
\[
\begin{cases}
\sqrt{3}\ Y+ X =0 \\
X^2+Y^2 =1\; ,
\end{cases}
\]
la cui risolvente quadratica è:
\[
4\ Y^2 =1\; ,
\]
sicché \(Y=\pm \frac{1}{2}\) e \(X=\mp \frac{\sqrt{3}}{2}\). Conseguentemente, l'arco è quello delimitato dagli angoli \(x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) ed \(x=\frac{5\pi}{6} +2k\pi\) presi nell'ordine crescente, ossia le soluzioni della disequazione sono \(-\frac{\pi}{6} +2k\pi\leq x\leq \frac{5\pi}{6}+2k\pi\).
Introducendo le due variabili asusiliarie \(X=\cos x\) ed \(Y=\sin x\) le soluzioni della disequazioni sono rappresentate da tutti i punti del piano \(XY\) che stanno contemporaneamente sulla circonferenza di equazione \(X^2+Y^2=1\) (relazione fondamentale della trigonometria) e nel semipiano individuato dalla disuguaglianza \(\sqrt{3}\ Y+X\geq 0\), cioé il semipiano sopra la retta d'equazione \(Y=-\frac{\sqrt{3}}{3}\ X\).
L'arco di circonferenza che soddisfa le limitazioni imposte sopra è quello i cui estremi si ottengono risolvendo il sistema:
\[
\begin{cases}
\sqrt{3}\ Y+ X =0 \\
X^2+Y^2 =1\; ,
\end{cases}
\]
la cui risolvente quadratica è:
\[
4\ Y^2 =1\; ,
\]
sicché \(Y=\pm \frac{1}{2}\) e \(X=\mp \frac{\sqrt{3}}{2}\). Conseguentemente, l'arco è quello delimitato dagli angoli \(x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) ed \(x=\frac{5\pi}{6} +2k\pi\) presi nell'ordine crescente, ossia le soluzioni della disequazione sono \(-\frac{\pi}{6} +2k\pi\leq x\leq \frac{5\pi}{6}+2k\pi\).
per quanto riguarda il tuo soliloquio cioè:
"Sinceramente non capisco perché incasinarsi con le formule parametriche per roba da terzo superiore..."
Risposta: semplice perchè se sapessi ragionare come fai tu di certo non avrei chiesto consiglio.....comunque ti ringrazio della risposta ma ancora non ho capito...........
"Sinceramente non capisco perché incasinarsi con le formule parametriche per roba da terzo superiore..."
Risposta: semplice perchè se sapessi ragionare come fai tu di certo non avrei chiesto consiglio.....comunque ti ringrazio della risposta ma ancora non ho capito...........
Un "soliloquio" di meno di 15 parole? Roba da fare impallidire Riccardo III o Amleto... 
Per il resto, cosa non ti è chiaro di preciso?
Il metodo ha una chiara rappresentazione grafica e perciò si chiama, usualmente, metodo grafico; di solito lo insegnano alle superiori, quando si tratta di risolvere le equazioni e disequazioni goniometriche.
Come detto, introdotte le due variabili ausiliarie \(X=\cos x\) ed \(Y=\sin x\), per la relazione fondamentale esse sono necessariamente legate dalla equazione \(X^2+Y^2=1\) che è l'equazione della circonferenza goniometrica nel piano \(XY\).
Perciò, risolvere la disequazione \(\sqrt{3}\ Y+X\geq 0\) equivale a determinare i punti della circonferenza goniometrica che stanno al di sopra della retta di equazione \(\sqrt{3}\ Y+X=0\).
Graficamente, i punti soluzione della disequazione sono quelli evidenziati nella figura seguente:
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-2; ymax=2;
axes("","");
stroke="lightgrey"; circle([0,0],1); plot("-0.577*x",-3,3);
stroke="red"; strokewidth=2; marker="dot"; arc([0.866,-0.5],[-0.866,0.5],1);
text([0.866,-0.5],"A",right); text([-0.866,0.5],"B", left);[/asvg]
Però, la variabile da determinare è \(x\), non \(X\) né \(Y\)... Quindi bisogna ritornare alla variabile originaria, un volta sfruttate quelle ausiliarie.
La variabile originaria, per noti fatti, rappresenta l'angolo determinato dalla semiretta uscente dall'origine degli assi nel piano \(XY\) passante per un punto variabile sulla circonferenza goniometrica, sicché i valori di \(x\) che risolvono la disequazione originaria si possono indivuare individuando gli angoli formati dalle semirette condotte per gli estremi \(A\) e \(B\) dell'arco evidenziato in figura e prendendo gli angoli compresi tra quei due valori.
Per il resto, cosa non ti è chiaro di preciso?
Il metodo ha una chiara rappresentazione grafica e perciò si chiama, usualmente, metodo grafico; di solito lo insegnano alle superiori, quando si tratta di risolvere le equazioni e disequazioni goniometriche.
Come detto, introdotte le due variabili ausiliarie \(X=\cos x\) ed \(Y=\sin x\), per la relazione fondamentale esse sono necessariamente legate dalla equazione \(X^2+Y^2=1\) che è l'equazione della circonferenza goniometrica nel piano \(XY\).
Perciò, risolvere la disequazione \(\sqrt{3}\ Y+X\geq 0\) equivale a determinare i punti della circonferenza goniometrica che stanno al di sopra della retta di equazione \(\sqrt{3}\ Y+X=0\).
Graficamente, i punti soluzione della disequazione sono quelli evidenziati nella figura seguente:
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-2; ymax=2;
axes("","");
stroke="lightgrey"; circle([0,0],1); plot("-0.577*x",-3,3);
stroke="red"; strokewidth=2; marker="dot"; arc([0.866,-0.5],[-0.866,0.5],1);
text([0.866,-0.5],"A",right); text([-0.866,0.5],"B", left);[/asvg]
Però, la variabile da determinare è \(x\), non \(X\) né \(Y\)... Quindi bisogna ritornare alla variabile originaria, un volta sfruttate quelle ausiliarie.
La variabile originaria, per noti fatti, rappresenta l'angolo determinato dalla semiretta uscente dall'origine degli assi nel piano \(XY\) passante per un punto variabile sulla circonferenza goniometrica, sicché i valori di \(x\) che risolvono la disequazione originaria si possono indivuare individuando gli angoli formati dalle semirette condotte per gli estremi \(A\) e \(B\) dell'arco evidenziato in figura e prendendo gli angoli compresi tra quei due valori.
@Gugo.
Col tuo "lunghissimo"(??) soliloquio hai fatto impallidire pure me :
a questo punto quasi quasi mi vengono dubbi amletici su chi sia l'utente di questo Forum meno capace di sintesi,
che appena troverò due o tremila ore farò in modo di dirimere in questa stanza e,in omaggio al buon vecchio William,
nella sua sezione esterofila
(anche in spagnolo,per non farmi mancare nulla,ma sopratutto come tributo al mio Amore,
se si ritaglerà lo spazio per correggerla tra una decina di relazioni e l'altra del corso abilitante più convulso e raffazonato di quella storia dell'istruzione pubblica italiana che pure tu,da Re Umberto giù giù fino a Mariastella,
avrai studiato come complementare..)!
@87Fra87.
Sempre con metodi noti dalla Scuola Media di IIº grado,potresti dividere per $sqrt((sqrt(3))^2+1^2)=2$ ambo i membri della tua disequazione;
a quel punto essa potrebbe esser scritta nella forma,che dovrebbe esserti più congeniale se ho ben letto tra le righe di quanto hai scritto,
$"cos"(x-pi/3)>0$:
è l'ideale complemento di quanto ottimamente e gentilmente spiegato dal moderatore,
e te lo scrivo alle sette e trenta del mattino perché a far troppa sintesi sulle basi nascono i gattini ciechl..
Non mi dilungo più:
Saluti dal web.
P.S.Benvenuto su questo Forum:
vedrai che basterà il minimo indispensabile dettato dal buonsenso,per trovarti bene..
Col tuo "lunghissimo"(??) soliloquio hai fatto impallidire pure me
:a questo punto quasi quasi mi vengono dubbi amletici su chi sia l'utente di questo Forum meno capace di sintesi,
che appena troverò due o tremila ore farò in modo di dirimere in questa stanza e,in omaggio al buon vecchio William,
nella sua sezione esterofila
(anche in spagnolo,per non farmi mancare nulla,ma sopratutto come tributo al mio Amore,
se si ritaglerà lo spazio per correggerla tra una decina di relazioni e l'altra del corso abilitante più convulso e raffazonato di quella storia dell'istruzione pubblica italiana che pure tu,da Re Umberto giù giù fino a Mariastella,
avrai studiato come complementare..)!
@87Fra87.
Sempre con metodi noti dalla Scuola Media di IIº grado,potresti dividere per $sqrt((sqrt(3))^2+1^2)=2$ ambo i membri della tua disequazione;
a quel punto essa potrebbe esser scritta nella forma,che dovrebbe esserti più congeniale se ho ben letto tra le righe di quanto hai scritto,
$"cos"(x-pi/3)>0$:
è l'ideale complemento di quanto ottimamente e gentilmente spiegato dal moderatore,
e te lo scrivo alle sette e trenta del mattino perché a far troppa sintesi sulle basi nascono i gattini ciechl..
Non mi dilungo più:
Saluti dal web.
P.S.Benvenuto su questo Forum:
vedrai che basterà il minimo indispensabile dettato dal buonsenso,per trovarti bene..
@ theras: Giusto, si può fare anche con le formule di addizione/sottrazione, con un metodo che dovrebbe essere molto caro agli ingegneri (perché, a ben vedere, esso mette in evidenza ampiezza e fase iniziale di un onda sinusoidale). 
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