Disequazioni goniometriche

[lorenzofranco24]

Salve ragazzi, ho un problema con la risoluzione di questa disequazione:
$ sen(x)+cos(x)> -1 $
come si risolve?

[seb1]

Quali sono i tuoi tentativi? Come l'approcceresti?

[lorenzofranco24]

Ho risolto usando il metodo grafico:
$ { ( x+y=-1 ),( x^2+y^2=1):} $
dove ho sostituito x=cos(x) e y=sen(x). Individuando i punti della prima equazione(che rappresenta una retta) che intersecano la circonferenza di raggio 1. La disequazione non è soddisfatta per: $ pi +2kpi <=x<=3/2pi +2kpi $ cioè nel terzo quadrante.

[seb1]

Eh, giusto, no?

[lorenzofranco24]

Certo!Fino a quel momento avevo incontrato solo disequazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari, cercando un pò sul web ho trovato i metodi di risoluzione di queste non elementari goniometriche!

[seb1]

Non so bene se interpreto il tuo "elementari" corretamente, ma pure questa disequazione è riconducibile ad una di esse tramite un metodo piuttosto standard. Svolgi così:\[\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x}\right)=\sqrt{2}\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}>-1\implies\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}>-\frac{1}{\sqrt{2}}\]dove s'è considerato che \(\sin{\frac{\pi}{4}}=\cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). L'ultima disequazione è ora banalmente risolubile.

[gugo82]

Si chiama “metodo dell’arco aggiunto”... Mi ha fatto sempre un po’ ribrezzo, ma può tornare utile.

[lorenzofranco24]

"seb":Non so bene se interpreto il tuo "elementari" corretamente, ma pure questa disequazione è riconducibile ad una di esse tramite un metodo piuttosto standard. Svolgi così:\[\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x}\right)=\sqrt{2}\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}>-1\implies\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}>-\frac{1}{\sqrt{2}}\]dove s'è considerato che \(\sin{\frac{\pi}{4}}=\cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). L'ultima disequazione è ora banalmente risolubile.

Certo anche questa con il metodo dell'arco aggiunto è riconducibile a una elementare. Il metodo grafico però credo sia più sbrigativo, almeno per quanto riguarda le mie competenze. Dovrei dare un'occhiata anche a questo metodo da te suggerito. Grazie