Disequazioni

[martao]

Ciao ragazzi,

volevo chiedervi una dritta perché mi sono bloccato su questa disequazione y^2>cosx

Che strategia potrei usare per risolverla?

[Studente Anonimo]

$[cosx lt 0] rarr [\pi/2+2k\pi lt x lt 3/2\pi+2k\pi] rarr [AA y in RR]$

$[cosx gt= 0] rarr [-\pi/2+2k\pi lt= x lt= \pi/2+2k\pi] rarr [y lt= -sqrtcosx vv y gt= sqrtcosx]$

[martao]

Ti ringrazio molto per avermi dato un aiuto.

Vorrei chiederti però se potessi esplicitarmi i passaggi, intendo il processo logico, del secondo intervallo. Il primo lo capisco il secondo non capisco come fai a trovare quei valori di y.

Inoltre volevo chiederti se potessi nello stesso modo spiegarmi il processo logico e i passaggi per risolvere quest'altra, sono davvero bloccato da mezz'ora e sento lo sconforto: $|sinx*cosy|<=1/2$

So che sono una palla al piede, ma vorrei arrivare a capire e svolgerli poi senza le vostre stampelle!
Grazie a te e chiunque si prenderà la briga di rispondermi

[Studente Anonimo]

Nel caso in cui:

$[cosx gt= 0] rarr [-\pi/2+2k\pi lt= x lt= \pi/2+2k\pi]$

la disequazione:

$y^2 gt= cosx$

nell'incognita $y$ e parametrica in $x$ si risolve come una disequazione di secondo grado numerica del tipo:

$[y^2 gt= 5] rarr [y lt= -sqrt5 vv y gt= sqrt5]$

(valori esterni). Quindi, nel tuo caso:

$[y^2 gt= cosx] rarr [y lt= -sqrtcosx vv y gt= sqrtcosx]$

Per quanto riguarda la seconda disequazione:

$|sinx*cosy| lt= 1/2$

si deve procedere con le funzioni goniometriche inverse. Se non è un qualche esercizio proposto e/o se non hai la dovuta dimestichezza per trattarle, non credo ne valga la pena.

[martao]

Ti ringrazio, purtroppo non venendo da uno scientifico mi trovo ad arrancare certe volte, studio molto ma vedo di avere altrettante lacune che vorrei colmare. Purtroppo nella mia scuola non abbiamo mai affrontato se non goniometriche in una variabile, e vedo che qui a ingegneria ad analisi due partono già con queste disequazioni mai viste (personalmente ovviamente, non parlo per tutti) per domini di funzioni.

Vorrei chiederti: ma dove potrei trovare la teoria (mi manca avere una base teorica, ad esempio mi bastava sapere la tua spiegazione e avrei capito subito) e poi qualche esercizio pratico su questo tipo di disequazioni in due incognite e goniometriche?
Mille grazie.

[Studente Anonimo]

La seconda disequazione è piuttosto impegnativa:

$|sinx*cosy| lt= 1/2 rarr$

$rarr |sinx|*|cosy| lt= 1/2$

Dopo aver osservato che $|sinx|=0$ è soluzione:

$[x=k\pi] ^^ [y in RR]$

si possono dividere entrambi i membri e procedere:

$|cosy| lt= 1/(2|sinx|)$

Intanto:

$[AA y in RR] ^^ [1/(2|sinx|) gt 1] rarr$

$rarr [AA y in RR] ^^ [|sinx| lt 1/2] rarr$

$rarr [AA y in RR] ^^ [-1/2 lt sinx lt 1/2] rarr$

$rarr [AA y in RR] ^^ [-\pi/6+k\pi lt x lt \pi/6+k\pi]$

Inoltre:

$[|cosy| lt= 1/(2|sinx|)] ^^ [-1 lt= 1/(2|sinx|) lt= 1] rarr$

$rarr [|cosy| lt= 1/(2|sinx|)] ^^ [0 lt= 1/(2|sinx|) lt= 1] rarr$

$rarr [|cosy| lt= 1/(2|sinx|)] ^^ [|sinx| gt= 1/2] rarr$

$rarr [|cosy| lt= 1/(2|sinx|)] ^^ [sinx lt= -1/2 vv sinx gt= 1/2] rarr$

$rarr [|cosy| lt= 1/(2|sinx|)] ^^ [\pi/6+k\pi lt= x lt= 5/6\pi+k\pi]$

Per concludere, bisognerebbe esplicitare le soluzioni di:

$|cosy| lt= 1/(2|sinx|)$

mediante le funzioni goniometriche inverse. Ad ogni modo, mi sfugge il motivo per cui sia stato proposto un esercizio del genere. Ciò che conta è che tu sappia risolvere le disequazioni goniometriche in una variabile anche nel caso in cui sia necessario servirsi delle funzioni goniometriche inverse. La difficoltà delle disequazioni in due variabili non risolvibili graficamente consiste nel fatto che sono disequazioni parametriche in una variabile.

"martao":
... ma dove potrei trovare la teoria ...

Esistono manuali di quarta liceo scientifico in cui si trattano i sistemi di equazioni goniometriche in due variabili. Per quanto riguarda le disequazioni in due variabili, avendo a che fare, tipicamente, con rette e coniche, si procede quasi sempre graficamente. Insomma, la disequazione di cui sopra è veramente un caso limite.

[martao]

Chiarissimo, ti ringrazio per la disponibilità