Disequazione...banale

[dan89-votailprof]

$n^(n+1)>(n+1)^n$

Dove n è un numero naturale...come si risolve?

[Studente Anonimo]

Perché banale?

Ti consiglio di trovare il minimo $n$ che la verifica e dimostrare per induzione che è vera da quell'$n$ in poi.

[dan89-votailprof]

Ma un metodo più analitico?

[clrscr]

Beh puo anche fare così...
$n^(n+1)>(n+1)^n => n>(1+1/n)^n$ il minimo valore naturale perchè la disequazione sia soddisfatta lo trovi velocemente...Poi il secondo termine ti può aiutare.

[parme1]

per la disuguaglainza di bernulli che mi dice che dato n>0 e x>=-1, si ha che (x+1)^n>1 + x*n.
in questo caso x=n quindi hai (1+n)^n>1+n^2>n^2
quindi la disuguaglianza è sempre falsa

[dan89-votailprof]

Veramente è sempre vera per ogni n>2....

[parme1]

allora fosso

[parme1]

bè infatti se passi al limite di n hai +∞>e..

[dan89-votailprof]

E quindi ragazzi? arriverò mai al punto in cui leggero n > di un numero o devo per forza andare per ragionamenti-ipotesi etc?

[parme1]

allora..il principio di bernulli è giusto ma non abbiamo x*n ma n^n..errore mio.. per il resto fai cosi..allora poichè sono numeri naturali mi sa si che ti conviene usare il principio d'induzione con passo base n=2..oppure consideri i due insiemi dove nn+1>(n+1)n⇒n>(1+1n)n (predno da cirscr) il prino è dato da{1,2,3,4,5,6..}cioè N\{0} e per le propietà di buon ordinamento,ma anche a occhio, ha minimo in 1.. il secondo ha minimo in due quindi devi prendere il valore di n affinchè il primo insieme abbia minimo maggiore di 2,cioè n>2..è un pò strana come dimostrazione

[dissonance]

Mah, io direi che è molto più semplice la strada indicata da clrscr... La disequazione è equivalente a $n>(1+1/n)^n$ e se non mi sbaglio il secondo membro va crescendo ad $e$. Quindi il secondo membro è sempre $=3$ la disequazione è verificata. Rimane da vedere cosa succede per $n=1, 2$ e si può fare direttamente: per $n=1$ la disequazione è $1>2$ non è vero; per $n=2$ la disequazione è $8>9$ neanche è vero. Quindi la disequazione è verificata per tutte le $n>=3$ e non è verificata per le altre.
Come verifica vediamo che succede per $n=3$: la disequazione diventa $3^4>4^3$ ovvero $81>64$ che è vero.