Disequazione $x^4...>0$
IL CONTESTO(saltare per il problema):
Ho studiato la funzione $f(x)=arctan((x^2-x+|1-2x|)/(x-1))$ ed arrivato allo studio della derivata ottengo
(controllato con il computer)
$f'(x)=(x^2-2x+2)/(x^4-6x^3+12x^2-8x+2) $ per $x<=1/2$ (dal val ass)
NUM $Delta<0 -> AAx inRR$
DEN 1o problema
$f'(x)=((x-2)x)/(x^4+2x^3-4x+2) $ per $x>1/2$ (dal val ass)
NUM $x>=2$
DEN 2o problema
alla fine $f(x)$ dovrebbe essere strettamente crescente per $x in \]-oo,1/2[ U ]2,+oo[$ con un P stazionario in $x1=2$ e min relativo $m(2,arctan5)$, e poi $M=(1/2,arctan(1/2))$ che risulta essere un punto angoloso
IL PROBLEMA:
Le seguenti due disequazioni, non scomponibili con ruffini
$x^4-6x^3+12x^2-8x+2>0$
$x^4+2x^3-4x+2>0$
io ho semplicemente sostituito con numeri a caso e deciso che per entrambi $AAx in D$, pero' non e' proprio un metodo matematico, quindi come si dovrebbe risolvere anche solo qualitativamente?
Ho studiato la funzione $f(x)=arctan((x^2-x+|1-2x|)/(x-1))$ ed arrivato allo studio della derivata ottengo
(controllato con il computer)
$f'(x)=(x^2-2x+2)/(x^4-6x^3+12x^2-8x+2) $ per $x<=1/2$ (dal val ass)
NUM $Delta<0 -> AAx inRR$
DEN 1o problema
$f'(x)=((x-2)x)/(x^4+2x^3-4x+2) $ per $x>1/2$ (dal val ass)
NUM $x>=2$
DEN 2o problema
alla fine $f(x)$ dovrebbe essere strettamente crescente per $x in \]-oo,1/2[ U ]2,+oo[$ con un P stazionario in $x1=2$ e min relativo $m(2,arctan5)$, e poi $M=(1/2,arctan(1/2))$ che risulta essere un punto angoloso
IL PROBLEMA:
Le seguenti due disequazioni, non scomponibili con ruffini
$x^4-6x^3+12x^2-8x+2>0$
$x^4+2x^3-4x+2>0$
io ho semplicemente sostituito con numeri a caso e deciso che per entrambi $AAx in D$, pero' non e' proprio un metodo matematico, quindi come si dovrebbe risolvere anche solo qualitativamente?
Risposte
Provale a studiare come funzioni. Guarda cosa fa la derivata per cercare di capire se sono davvero sempre positive o no.
Nessuna delle due ha radici reali, ho provato con Wolphram.
Paola
Nessuna delle due ha radici reali, ho provato con Wolphram.
Paola
Scusami ma non ho ben capito... Studiarle in che modo come funzioni? Studiando a derivata della prima per es esce $4x^3-18x^2+24x-8$ che scomponendo con ruffini e risolvendo esce $(x-2)(4x^2-10x+4) -> 2(x-2)(x-2)(2x-1)$. Poi? Come faccio con la disequazione visto che non e' lequazione ma la dirivata?
Mai sentito parlare di Teorema di esistenza degli zeri? Devi applicare quello: attraverso lo studio della derivata, determini gli intervalli di monotonia della funzione (e anche massimi e minimi) e grazie a queste informazioni puoi dedurre il comportamento della funzione. Nel tuo caso ad esempio
$f(x)=x^4-6x^3+12x^2-8x+2$ e $f'(x)=4x^3-18x+24x-8=2(x-2)^2(2x-1)$
Dal momento che $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty$ mentre $f'(x)>0$ per $x>1/2$ (e $f'(x)=0$ per $x=2,\ x=1/2$) verifichi facilmente che la funzione decresce su $(-\infty,1/2)$ e cresce su $(1/2,2)\cup(2,+\infty)$. In $x=1/2$ c'è un punto di minimo, e il minimo vale $f(1/2)=-{31}/{16}<0$. Ne segue che la funzione (essendo continua) deve attraversare l'asse delle ascisse in due punti $\alpha<1/2$ e $1/2<\beta<2$ (infatti $f(2)=2>0$) che sono i due valori in cui la funzione si annulla. Ne segue che
$f(x)>0$ per $x\in(-\infty,\alpha)\cup(\beta,+\infty)$
$f(x)<0$ per $x\in(\alpha,\beta)$
$f(x)=x^4-6x^3+12x^2-8x+2$ e $f'(x)=4x^3-18x+24x-8=2(x-2)^2(2x-1)$
Dal momento che $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty$ mentre $f'(x)>0$ per $x>1/2$ (e $f'(x)=0$ per $x=2,\ x=1/2$) verifichi facilmente che la funzione decresce su $(-\infty,1/2)$ e cresce su $(1/2,2)\cup(2,+\infty)$. In $x=1/2$ c'è un punto di minimo, e il minimo vale $f(1/2)=-{31}/{16}<0$. Ne segue che la funzione (essendo continua) deve attraversare l'asse delle ascisse in due punti $\alpha<1/2$ e $1/2<\beta<2$ (infatti $f(2)=2>0$) che sono i due valori in cui la funzione si annulla. Ne segue che
$f(x)>0$ per $x\in(-\infty,\alpha)\cup(\beta,+\infty)$
$f(x)<0$ per $x\in(\alpha,\beta)$
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