Disequazione trigonometriche
Buongiorno sono nuovo nel forum. Sto diventando pazzo per risolvere una disequazione:
$cos(2 pi x)+2/(sin(pi x)) > 0$
Ho posto $t = pi x$ e poi ho applicato 2 formule gonionetriche arrivando a $sin^2(pix)>0$ ma è sbagliato
Potete illustrare il procedimento corretto per favore?
La funzione è da studiare in $(-1, 1)$ perché è periodica di periodo $2$.
Grazie in anticipo!
$cos(2 pi x)+2/(sin(pi x)) > 0$
Ho posto $t = pi x$ e poi ho applicato 2 formule gonionetriche arrivando a $sin^2(pix)>0$ ma è sbagliato
Potete illustrare il procedimento corretto per favore?
La funzione è da studiare in $(-1, 1)$ perché è periodica di periodo $2$.
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao Kris979797 e benvenuto, allora in realtà è ""semplicissimo""
, per prima cosa giustamente poni $t=2x$ , poi applichi la formula di duplicazione sul coseno ed arrivi a questa:
$$
1-2\sin^2(t)+\frac{2}{\sin(t)}=0
$$
a questo punto applichi un'ultima sostituzione cioè $y=\sin(t)$ e dopo un denominatore comune ottieni :
$$
\frac{-2y^3+y+2}{y}>0
$$
quindi studiamo un momento la funzione a numeratore, visto che è un polinomio di terzo grado, non è il massimo della vita, ma non avendo il termine di secondo grado è molto "veloce" applicare la formula risolutiva di cardano; quindi una strada per risolvere esattamente(e senza ragionare) la disequazione c'è.
Un altro modo è notare che a causa della sostituzione $y=\sin(t)$ , abbiamo che $y\in [-1,1]$ quindi ci interessa capire il numeratore cosa fa in questo intervallo.
Diamo un nome a questa funzione per comodità, chiamiamola diciamo $g(y)=-2y^3+y+2$, capire a secco se è positiva è dura, però se fosse monotona sarebbe molto comodo(non sarà il nostro caso), quindi la deriviamo per trovare i punti critici per capire come si comporta. Ed abbiamo che $g'(y)=-6y^2+1$ e i suoi punti critici saranno dunque $y=\pm sqrt{\frac{1}{6}}$ , quindi essendo un polinomio di terzo grado col termine di grado massimo negativo(oppure risolvendo $g'(y)>0$), capiamo che la funzione decresce fino a $-sqrt{\frac{1}{6}}$ dove ha un minimo relativo poi cresce fino a $sqrt{\frac{1}{6}}$ dove ha un massimo relativo, per poi decrescere per sempre. Quindi valutiamo la funzione in $-1$ in $1$ e nel minimo. e otteniamo che $g(-1)>0$ , $g(1)>0$ e $g(-sqrt{\frac{1}{6}})>0$ e da questo possiamo concludere che $g(y)>0 \forall y\in [-1,1]$ .
E adesso abbiamo finito perché se il numeratore è sempre positivo la soluzione di questa
$$
\frac{-2y^3+y+2}{y}>0
$$
è
$$
y>0
$$
cioè
$$
\sin(\pi x)>0
$$
e quindi
$$
2k
$$

$$
1-2\sin^2(t)+\frac{2}{\sin(t)}=0
$$
a questo punto applichi un'ultima sostituzione cioè $y=\sin(t)$ e dopo un denominatore comune ottieni :
$$
\frac{-2y^3+y+2}{y}>0
$$
quindi studiamo un momento la funzione a numeratore, visto che è un polinomio di terzo grado, non è il massimo della vita, ma non avendo il termine di secondo grado è molto "veloce" applicare la formula risolutiva di cardano; quindi una strada per risolvere esattamente(e senza ragionare) la disequazione c'è.
Un altro modo è notare che a causa della sostituzione $y=\sin(t)$ , abbiamo che $y\in [-1,1]$ quindi ci interessa capire il numeratore cosa fa in questo intervallo.
Diamo un nome a questa funzione per comodità, chiamiamola diciamo $g(y)=-2y^3+y+2$, capire a secco se è positiva è dura, però se fosse monotona sarebbe molto comodo(non sarà il nostro caso), quindi la deriviamo per trovare i punti critici per capire come si comporta. Ed abbiamo che $g'(y)=-6y^2+1$ e i suoi punti critici saranno dunque $y=\pm sqrt{\frac{1}{6}}$ , quindi essendo un polinomio di terzo grado col termine di grado massimo negativo(oppure risolvendo $g'(y)>0$), capiamo che la funzione decresce fino a $-sqrt{\frac{1}{6}}$ dove ha un minimo relativo poi cresce fino a $sqrt{\frac{1}{6}}$ dove ha un massimo relativo, per poi decrescere per sempre. Quindi valutiamo la funzione in $-1$ in $1$ e nel minimo. e otteniamo che $g(-1)>0$ , $g(1)>0$ e $g(-sqrt{\frac{1}{6}})>0$ e da questo possiamo concludere che $g(y)>0 \forall y\in [-1,1]$ .
E adesso abbiamo finito perché se il numeratore è sempre positivo la soluzione di questa
$$
\frac{-2y^3+y+2}{y}>0
$$
è
$$
y>0
$$
cioè
$$
\sin(\pi x)>0
$$
e quindi
$$
2k
Io farei così …
La studiamo nell'intervallo $(-1, 1)$.
Non è definita in $0$, il denominatore è sempre diverso da zero.
$(sin(pix)*cos(2pix)+2)/sin(pix)>0$
$D>0 -> x>0$
$N>0 -> sin(pix)*cos(2pix)+2>0 -> sin(pix)*cos(2pix)> -2$
Ma quest'ultima è sempre vera, quindi …
Cordialmente, Alex
La studiamo nell'intervallo $(-1, 1)$.
Non è definita in $0$, il denominatore è sempre diverso da zero.
$(sin(pix)*cos(2pix)+2)/sin(pix)>0$
$D>0 -> x>0$
$N>0 -> sin(pix)*cos(2pix)+2>0 -> sin(pix)*cos(2pix)> -2$
Ma quest'ultima è sempre vera, quindi …
Cordialmente, Alex
Grazie mille tutto chiaro!