Disequazione trigonometrica

[streghettaalice]

Come posso studiare e trovare quando sin(x) < x o cos(x)

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Risposte

Seneca1

16 mar 2011, 16:20

"streghettaalice":Come posso studiare e trovare quando sin(x) < x o cos(x)

Graficamente.

Se vuoi convincertene puoi studiare la concavità di $sin(x)$ in $[-pi/2 , pi/2]$.

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paolotesla91

16 mar 2011, 17:25

seneca ti dirò ke non ho mai risolto nessun tipo di disequazione graficamente quindi potresti gentilmente spiegarmi come si fa? almeno riguardo le disequazioni trignonometriche!!!

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Seneca1

16 mar 2011, 18:23

Ti dovrebbero nominare Paolo "il conquistatore" (di topic).

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paolotesla91

16 mar 2011, 18:51

ahahaha hai ragione scusa ma credo che approffittare di un aiuto per un interesse comune sia meglio che creare un nuovo topic che dica la stessa cosa!! occupa spazio inutilmente... non credi?

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Seneca1

16 mar 2011, 19:21

Io farei così:

Considera $f(x) = sin(x)$ definita in $[0 , pi/2]$

$f''(x) = - sin(x)$ , $f'' <= 0 , AA x in [0, pi/2]$. Quindi $f$ è concava.

Per i teoremi sulle funzioni convesse, sai che $f$ in $[0, pi/2]$ sta sempre al di sotto di $x$ (che è la tangente al grafico di $sin(x)$ in $0$).(*)

Così resta provato che $sin(x) <= x , AA x in [ 0 , pi/2 ]$. Provare che $sin(x) <= x , AA x >= pi/2$ è banale ( $sin(x)$ è limitata ).

A questo punto usa la simmetria del problema per dimostrare ciò che manca.


(*) In realtà la tangente al grafico si potrebbe considerare solo in punti interni, ma nel caso in questione non credo ci siano problemi.

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paolotesla91

17 mar 2011, 15:41

ok grazie seneca!! da come ho capito basta considerare i grafici di entrambe le fuzioni e verificare per quali valori di x la relazione è vera giusto??

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[Seneca1]

"streghettaalice":Come posso studiare e trovare quando sin(x) < x o cos(x)

Graficamente.

Se vuoi convincertene puoi studiare la concavità di $sin(x)$ in $[-pi/2 , pi/2]$.

[paolotesla91]

seneca ti dirò ke non ho mai risolto nessun tipo di disequazione graficamente quindi potresti gentilmente spiegarmi come si fa? almeno riguardo le disequazioni trignonometriche!!!

[Seneca1]

Ti dovrebbero nominare Paolo "il conquistatore" (di topic).

[paolotesla91]

ahahaha hai ragione scusa ma credo che approffittare di un aiuto per un interesse comune sia meglio che creare un nuovo topic che dica la stessa cosa!! occupa spazio inutilmente... non credi?

[Seneca1]

Io farei così:

Considera $f(x) = sin(x)$ definita in $[0 , pi/2]$

$f''(x) = - sin(x)$ , $f'' <= 0 , AA x in [0, pi/2]$. Quindi $f$ è concava.

Per i teoremi sulle funzioni convesse, sai che $f$ in $[0, pi/2]$ sta sempre al di sotto di $x$ (che è la tangente al grafico di $sin(x)$ in $0$).(*)

Così resta provato che $sin(x) <= x , AA x in [ 0 , pi/2 ]$. Provare che $sin(x) <= x , AA x >= pi/2$ è banale ( $sin(x)$ è limitata ).

A questo punto usa la simmetria del problema per dimostrare ciò che manca.


(*) In realtà la tangente al grafico si potrebbe considerare solo in punti interni, ma nel caso in questione non credo ci siano problemi.

[paolotesla91]

ok grazie seneca!! da come ho capito basta considerare i grafici di entrambe le fuzioni e verificare per quali valori di x la relazione è vera giusto??