Disequazione Trigonometrica
Buongiorno a tutti!
Il mio problema è il seguente:devo trasformare l'insieme di un integrale doppio con le coordinate polari.L'insieme in questione è
$D={(x,y) in RR^2 : x>=0 , y<=sqrt{2}x^2 , 2/9<=x^2+y^2<=1}$
Usando le coordinate polari quindi $x=\rhoCos\theta$ e $y=\rhoSen\theta$ ricavo subito:
dalla prima condizione ricavo $\rhoCos\theta>=0 => Cos\theta>=0 => -\pi/2<=\theta<=\pi/2$
dalla terza condizione ricavo $sqrt{2}/3<=\rho<=1$
La seconda condizione deve soddisfare la seguente disequazione $\rhoSen\theta<=sqrt{2}\rho^2Cos^2\theta$
Ho provato di tutto ma non riesco a venirne a capo. Quello che mi blocca è il $cos^2\theta$
Come prima cosa ho diviso per $\rho$ e la disequazione diventa $Sen\theta<=sqrt{2}\rhoCos^2\theta$
Ho provato a seguire la strada $tan\theta<=sqrt{2}\rhoCos\theta$ ma non riesco a risolverla.
Ho provato scrivendo il $Cos^2\theta$ come $1-sen^2\theta$ in modo da ricondurre il tutto ad un equazione di secondo grado in $sen\theta$ ma viene un'espressione che non so come confrontarla con $ -\pi/2<=\theta<=\pi/2$
Qualcuno mi sa fornire una strada per ricavare $\theta$ ?
Grazie
Il mio problema è il seguente:devo trasformare l'insieme di un integrale doppio con le coordinate polari.L'insieme in questione è
$D={(x,y) in RR^2 : x>=0 , y<=sqrt{2}x^2 , 2/9<=x^2+y^2<=1}$
Usando le coordinate polari quindi $x=\rhoCos\theta$ e $y=\rhoSen\theta$ ricavo subito:
dalla prima condizione ricavo $\rhoCos\theta>=0 => Cos\theta>=0 => -\pi/2<=\theta<=\pi/2$
dalla terza condizione ricavo $sqrt{2}/3<=\rho<=1$
La seconda condizione deve soddisfare la seguente disequazione $\rhoSen\theta<=sqrt{2}\rho^2Cos^2\theta$
Ho provato di tutto ma non riesco a venirne a capo. Quello che mi blocca è il $cos^2\theta$
Come prima cosa ho diviso per $\rho$ e la disequazione diventa $Sen\theta<=sqrt{2}\rhoCos^2\theta$
Ho provato a seguire la strada $tan\theta<=sqrt{2}\rhoCos\theta$ ma non riesco a risolverla.
Ho provato scrivendo il $Cos^2\theta$ come $1-sen^2\theta$ in modo da ricondurre il tutto ad un equazione di secondo grado in $sen\theta$ ma viene un'espressione che non so come confrontarla con $ -\pi/2<=\theta<=\pi/2$
Qualcuno mi sa fornire una strada per ricavare $\theta$ ?
Grazie
Risposte
di primo acchito mi sembra che il tuo dominio possa essere scritto in coordinate polari come l'unione di due insiemi, uno semplice rispetto a ro
$D_1={(rho,theta): theta in [arccos(1/sqrt(1+sqrt2)),arccos(3/sqrt(2(1+sqrt2)))], sintheta/(sqrt2cos^2theta)<=rho<=1}
l'altro un rettangolo
$D_2={(rho,theta): theta in [-pi/2,arccos(1/(sqrt(1+sqrt2)))], rho in [sqrt2/3,1]}
bisogna vedere se con la funzione integranda questo è fattibile
$D_1={(rho,theta): theta in [arccos(1/sqrt(1+sqrt2)),arccos(3/sqrt(2(1+sqrt2)))], sintheta/(sqrt2cos^2theta)<=rho<=1}
l'altro un rettangolo
$D_2={(rho,theta): theta in [-pi/2,arccos(1/(sqrt(1+sqrt2)))], rho in [sqrt2/3,1]}
bisogna vedere se con la funzione integranda questo è fattibile
la funzione integranda è $x/(x^2+y^2)$
Nel caso il dominio fosse l'unione di D1 e D2,dovrei risolvere due integrali doppi?Uno su D1 e l'altro su D2?
Nel caso il dominio fosse l'unione di D1 e D2,dovrei risolvere due integrali doppi?Uno su D1 e l'altro su D2?
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