Disequazione trigonometrica

[Lorin1]

Allora ho un dubbio, apparentemente scemo, che però non ho fatto in tempo a chiedere alla prof oggi perchè è scappata.

Ci stava spiegando un pò le funzioni trigonometriche, in vista del test del precorso, e ha scritto:

$arcsin(sqrt(x^2-1))>1$

quindi per trovare le soluzioni ha impostato il sistema:

$\{(-1<=sqrt(x^2-1)<=1),(x^2-1>=0),(sqrt(x^2-1)<\pi/2):}$

Ora per le prime due condizioni mi trovo, perchè una rispecchia il dominio dell'arcsinx e l'altra quello della radice....ma il dubbio è per la terza condizione, cioè non doveva essere :

$sqrt(x^2-1)>\pi/2$?

[dissonance]

secondo me hai ragione tu. infatti $arcsin$ è una funzione crescente. però ora che ci penso, c'è qualcosa che non mi torna... non è che hai scambiato 1 e $pi/2$?

[Lorin1]

si nel senso che il passaggio era questo:

$arcsin(sqrt(x^2-1))> 1 => arcsin(sqrt(x^2-1))> arcsin(1)$ e visto che l'arco il cui seno è 1 è $\pi/2$ allora:

$arcsin(sqrt(x^2-1))>\pi/2$ solo che la mia prof all'improvviso ha messo il $<$. Ed è qui che mi sorge il dubbio:

Distrazione della prof oppure mi sfugge qualcosa...

[dissonance]

Sul segno di minore penso che abbia ragione tu. $arcsin$ è crescente, quindi puoi risolvere $arcsin(x)>arcsin(y)$: $x>y$. Il primo arcoseno è più grande del secondo se e solo se l'argomento del primo arcoseno è più grande dell'argomento del secondo. Quello che invece mi sfugge è questo passaggio:
$arcsin(sqrt(x^2-1))>1 => arcsin(sqrt(x^2-1))>arcsin(1)$... io avrei detto, $arcsin(sin\ 1)$.

[Enrico84]

"Lorin":si nel senso che il passaggio era questo:

$arcsin(sqrt(x^2-1))> 1 => arcsin(sqrt(x^2-1))> arcsin(1)$ e visto che l'arco il cui seno è 1 è $\pi/2$ allora:

$arcsin(sqrt(x^2-1))>\pi/2$ solo che la mia prof all'improvviso ha messo il $<$. Ed è qui che mi sorge il dubbio:

Distrazione della prof oppure mi sfugge qualcosa...

Guarda che $arcsin(1)!=1$!!!

[Lorin1]

Aspettate un attimo...

Allora Si, hai ragione dissonance, ho mancato un passaggio, ma pensavo fosse logico, comunque si è così, per arrivare alla mia conclusione bisogna fare questo passaggio. (Mi sono espresso male io prima...causa stanchezza)

$sin(arcsin(sqrt(x^2-1))>sin(1)$ cioè moltiplicare ambi membri per $sin$ e quindi

$sqrt(x^2-1)>\pi/2$

ok?

[dissonance]

Si scusa sono stanco anche io e non mi sono accorto subito dell'errore: $sin\ 1!=pi/2$. Te ne accorgi subito: $-1<=sin x<=1$, per ogni $x$ reale. Giusto? Invece $3

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[Lorin1]

si per la soluzione non c'è problema, volevo solo sapere se era stata la prof a distrarsi.

[dissonance]

Sarà andata sicuramente così, può capitare benissimo. Comunque io ho fatto due conti, e alla fine il tuo sistema mi risulta essere equivalente a ${(|x|>=1),(|x|<=sqrt(2)),(|x| Inoltre $(sin\ 1)^2$ è positivo quindi $sqrt((sin\ 1)^2+1)$ è più grande di 1.
Quindi le soluzioni del sistema sono le $x$ il cui valore assoluto è compreso tra $1$ e $sqrt((sin\ 1)^2+1)$.

[Lorin1]

Appena lo svolgo tutto ti faccio sapere^^