Disequazione trigonometrica

[mirela2]

Scusate se vi disturbo ancora ma volevo sapere quando il sen(1/x)>0!
scusate ancora!!!grazie

mirella

[goblyn]

Ciao Mirella! (Ci ho messo un po' ma alla fine ho capito che ti chiami così e non mirela...)

Intanto notiamo che la funzione sin(1/x) è dispari. Quindi supponiamo x>0. Per x<0 tale funzione è positiva dove per x>0 è negativa. E viceversa.

Dunque:

sin(1/x)>0

2n*pi < 1/x < pi + 2n*pi

per ogni n appartenente a N (e non a Z perché abbiamo supposto x>0).
L'ultima disequazione si può scrivere come sistema di due disequazioni:

1/x >2n*pi

[1]

1/x < pi(1+2n)

[2]

che risolte danno:

x < 1/(pi*2n)

[1]

x > 1/[pi*(2n+1)]

[2]

Dato che 1/(pi*2n) > 1/(pi*(2n+1)) e la [1] e la [2] devono valere contemporaneamente, si ha:

1/[pi*(2n+1)] < x < 1/[pi*2n]

x>0

Per n=0 si ottiene l'intervallo aperto x > 1/pi. Ciò significa che per x>1/pi la disuguaglianza è sempre vera. (E quindi è sempre falsa per x<-1/pi, essendo la funzione sin(1/x) dispari).

goblyn