Disequazione trascendente

[anto_zoolander]

Dimostrare che:

$x/(1+x^2)0$

io ho ragionato così:

ho fatto un rapido studio di $x/(1+x^2)$ ricavando questi dati:

- $-f(-x)=f(x)$ ovvero dispari

- $f(x)>0, forallx>0$

- $f(x)=0 if x=0$

- $lim_(x->pminfty)x/(1+x^2)=0$

$M(1,1/2) and m(1,-1/2)$

che sostanzialmente sono gli unici dati che mi interessano.
Certamente per $x in[1,+infty)$ la disequazione è soddisfatta poiché dopo $x=1$ la funzione decresce e ha $1/2$ come massimo. Mi resta da vedere nell'intervallo $x in(0,1)$ com'è la situazione. Ho tolto $x=0$ perché in quel punto sussisterebbe l'uguaglianza che non è prevista.

ho pensato di fare così. Derivo ambo i membri:

$(1-x^2)/(1+x^2)^2<1/(1+x^2) => (1-x^2)/(1+x^2)<1$

$1-x^2<1+x^2 => x^2>0$ ovvero $forallx inRR_0$

dunque la funzione $arctan(x)$ cresce più rapidamente dell'altra e inoltre partono con la stessa pendenza in $x=0$ dunque per $x>0$ la funzione $arctan(x)$ sta' sempre sopra l'altra, e essendo entrambe le funzioni dispari, dall'altro lato $arctan(x)$ sta' sempre sotto, dunque la disequazione è vera.

Ci siamo?

[Bremen000]

Mi pare proprio di si! Forse ho capito male qualcosa ma volevi dire $ x \in (0,1) $ ?

[anto_zoolander]

Si ho sbagliato a scrivere, è proprio $x in(0,1)$

grazie