Disequazione logaritmica

[marcus1121]

Data la disequazione
$(1/lnn)^lnn 0 ^^ninNN$ fin qua ci arrivo
$(1/lnn)^lnnln(n)^-ln(n)ln(n)^-ln(n) Poi ho pensato che questa disequazione si risolve graficamente o con metodi che non conosco
e quindi vi chiedo una mano per procedere.
Grazie sempre

[marcus1121]

[gugo82]

Se, come mi par di capire, si tratta di mostrare che \(\lim_n 1/(\log n)^{\log n} =0\), ossia che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\ \frac{1}{(\log n)^{\log n}} <\varepsilon\; ,
\]
si può ragionare come segue.
La disuguaglianza \(1/(\log n)^{\log n} <\varepsilon\) è equivalente a:
\[
\tag{1}
(\log n)^{\log n}>\frac{1}{\varepsilon}\; ;
\]
dato che, per \(n\geq 3\) si ha \(\log n>1\) e dato che l'esponenziale di base \(>1\) è una funzione crescente, è evidente che:
\[
(\log n)^{\log n} > \log n
\]
per \(n\geq 3\); pertanto affinché sia soddisfatta la (1) basta che sia soddisfatta la:
\[
\tag{2}
\log n> \frac{1}{\varepsilon}
\]
e che \(n\geq 3\). Le soluzioni della (2) sono:
\[
n> e^{1/\varepsilon}\; ,
\]
dunque la (2) è certamente soddisfatta per \(n\geq \mu\) con:
\[
\mu := \max \left\{ 3, \left\lfloor e^{1/\varepsilon} \right\rfloor +1 \right\}\; .
\]
Conseguentemente, la (1) e la definizione di limite sono soddisfatte non appena si prenda \(n\geq \nu\) con \( \nu =\mu\).

[marcus1121]

Intanto vi ringrazio sempre; ma ho un dubbio:

data la disequazione $logn>1/epsilon$ tu dici che essa è verificata per
$n>(-logepsilon)$, ma la soluzione non è
$e^(1/epsilon)$

[gugo82]

Sì, ovvio...

Ora correggo.