Disequazione (limite)

[lucia88]

Ciao a tutti,
praticamente non riesco a capire il prof come si ricava questa disequazione per $(x,y)->(0,0)$ :
$-3(x^2-y^2)^2/4<=cos(x^2-y^2)-1<=-(x^2-y^2)/4$

so che probabilmente è una stupidata ma non ci arrivo xD

(ad esempio so che $-2<=cos(x^2-y^2)-1<=0$ e che $cos(x^2-y^2)-1=-(x^2-y^2)^2/2$ (sempre per x,y tendenti a zero))

grazie mille per le eventuali risposte

[gugo82]

Per Taylor:
\[
\cos t = 1 - \frac{1}{2}\ t^2 + R(t)\qquad \text{, per } t\to 0
\]
con \(R(t)=\text{o}(t^2)\) (resto nella forma di Peano); dato che, per definizione di \(\text{o}\), in corrispondenza di \(\varepsilon =1/4\) esiste un \(\sigma>0\) tale che:
\[
|t|<\sigma\quad \Rightarrow \quad \left| R(t)\right|\leq \frac{1}{4}\ t^2
\]
ossia:
\[
|t|<\sigma \quad \Rightarrow\quad -\frac{1}{4}\ t^2 \leq R(t)\leq \frac{1}{4}\ t^2\; ;
\]
pertanto per \(t\in ]-\sigma, \sigma[\) si ha:
\[
\begin{split}
\cos t &= 1 - \frac{1}{2}\ t^2 + R(t) \\
&\leq 1 - \frac{1}{2}\ t^2 + \frac{1}{4}\ t^2\\
&= 1-\frac{1}{4}\ t^2\\
\cos t &= 1 - \frac{1}{2}\ t^2 + R(t) \\
&\geq 1 - \frac{1}{2}\ t^2 - \frac{1}{4}\ t^2\\
&= 1-\frac{3}{4}\ t^2
\end{split}
\]
dunque:
\[
|t|<\sigma \quad \Rightarrow\quad -\frac{3}{4}\ t^2 \leq \cos t -1\leq -\frac{1}{4}\ t^2\; .
\]

Di qui la strada è in discesa: infatti, ponendo \(t=x^2-y^2\) hai:
\[
|x^2-y^2|<\sigma\quad \Rightarrow\quad -\frac{3}{4}\ (x^2-y^2) \leq \cos (x^2-y^2) -1\leq -\frac{1}{4}\ (x^2-y^2)\; ;
\]
ma dato che la funzione \(\phi(x,y):=x^2-y^2\) è continua in \(\phi(0,0)=0\), in corrispondenza di \(\sigma >0\) esiste un \(\delta>0\) tale che:
\[
\sqrt{x^2+y^2}<\delta\quad \Rightarrow \quad |x^2-y^2| = \left| \phi (x,y)-\phi(0,0)\right|<\sigma
\]
dunque:
\[
\sqrt{x^2+y^2}<\delta\quad \Rightarrow \quad -\frac{3}{4}\ (x^2-y^2) \leq \cos (x^2-y^2) -1\leq -\frac{1}{4}\ (x^2-y^2)
\]
e ciò equivale a dire che intorno a \((0,0)\) la funzione \(\cos (x^2-y^2) - 1\) soddisfa le stime usate dal tuo professore.