Disequazione irrazionale con valiri assoluti
Ho qualche problema con questa disequazione
$sqrt(abs(x^2-4)-1) + sqrt(-abs(x-5)/(x^4-1))>=0$
Il problema lo trovo perché mi escono fuori dei polinomi di sesto grado che non riesco a fattorizzare.
Fascendo lo studio del segno dei valori assoluti mi ritrovo 4 sistemi. Per esempio
${ ( x<=-2 ),(x^2-4-1>=(x-5)/(x^4-1)):}$
sa cui ottengo
${ ( x<=-2 ),( x^6-5x^4-x^2-x+10 >=0):}$
In questi casi come si puó fare?
Grazie
$sqrt(abs(x^2-4)-1) + sqrt(-abs(x-5)/(x^4-1))>=0$
Il problema lo trovo perché mi escono fuori dei polinomi di sesto grado che non riesco a fattorizzare.
Fascendo lo studio del segno dei valori assoluti mi ritrovo 4 sistemi. Per esempio
${ ( x<=-2 ),(x^2-4-1>=(x-5)/(x^4-1)):}$
sa cui ottengo
${ ( x<=-2 ),( x^6-5x^4-x^2-x+10 >=0):}$
In questi casi come si puó fare?
Grazie
Risposte
La somma di due radici è sempre $>=0$...nel dominio.
Ed è appunto il dominio che ti chiedono di trovare.
Per la prima radice, quando $|x^2-4|-1>=0$ ?
Nella seconda radice il numeratore è sempre positivo, quindi il radicando sarà positivo quando il denominatore è negativo (per $x!=+-1$).
Metti insieme le condizioni che troverai e l'esercizio è finito.
Ed è appunto il dominio che ti chiedono di trovare.
Per la prima radice, quando $|x^2-4|-1>=0$ ?
Nella seconda radice il numeratore è sempre positivo, quindi il radicando sarà positivo quando il denominatore è negativo (per $x!=+-1$).
Metti insieme le condizioni che troverai e l'esercizio è finito.
Ciao milos144,
In questi casi si ragiona...
Di ciò che ti ha già fatto notare Bokonon mi soffermerei in particolare su questo:
Questo significa $x^4 - 1 < 0 \iff (x^2 + 1)(x^2 - 1) < 0 $
Ora, siccome $ x^2 + 1 $ è certamente una quantità positiva, è sufficiente risolvere $x^2 - 1 < 0 \iff - 1 < x < 1 $ che è una soluzione che certamente va bene anche per il primo radicando (basta sostituire a $x$ un qualsiasi valore nell'intervallo $[0, 1) $, perché visto che c'è un quadrato ci possiamo risparmiare quelli nell'intervallo $(- 1, 0) $, che si vede subito che il primo radicando è positivo).
Ci sono altre soluzioni? Rifletti e magari risolvi la disequazione $|x^2 - 4| - 1 >= 0 $ prima di rispondere...
"milos144":
In questi casi come si puó fare?
In questi casi si ragiona...
Di ciò che ti ha già fatto notare Bokonon mi soffermerei in particolare su questo:
"Bokonon":
il [secondo] radicando sarà positivo quando il denominatore è negativo
Questo significa $x^4 - 1 < 0 \iff (x^2 + 1)(x^2 - 1) < 0 $
Ora, siccome $ x^2 + 1 $ è certamente una quantità positiva, è sufficiente risolvere $x^2 - 1 < 0 \iff - 1 < x < 1 $ che è una soluzione che certamente va bene anche per il primo radicando (basta sostituire a $x$ un qualsiasi valore nell'intervallo $[0, 1) $, perché visto che c'è un quadrato ci possiamo risparmiare quelli nell'intervallo $(- 1, 0) $, che si vede subito che il primo radicando è positivo).
Ci sono altre soluzioni? Rifletti e magari risolvi la disequazione $|x^2 - 4| - 1 >= 0 $ prima di rispondere...
Grazie dei consigli!
Seguendo i vostri ragionamenti...l'altra soluzione di $-abs(x-5)/(x^4-1)>=0$ é $x=5$
per quanto riguarda $abs(x^2-4)-1>=0$ ho ottenuto
$x<=-sqrt(5) vv x>=sqrt(5) vv -sqrt(3)<=x<=sqrt(3)$
Unendo infine i 2 sistemi sono arrivato alla soluzione:
$-1
Io mi sono perso perché volevo risolvere ed unire i sistemi dati da
${ ( abs(x^2-4)-1>=0 ),( -abs(x-5)/(x^4-1) <0):} vv { ( abs(x^2-4)-1>=-abs(x-5)/(x^4-1) ),( -abs(x-5)/(x^4-1)>=0 ):} $
Comunque, per levarmi ogni dubbio, una disequazione del tipo
$abs(x^2-4)-1>=-abs(x-5)/(x^4-1)$, si puó risolvere solo graficamente?
Seguendo i vostri ragionamenti...l'altra soluzione di $-abs(x-5)/(x^4-1)>=0$ é $x=5$
per quanto riguarda $abs(x^2-4)-1>=0$ ho ottenuto
$x<=-sqrt(5) vv x>=sqrt(5) vv -sqrt(3)<=x<=sqrt(3)$
Unendo infine i 2 sistemi sono arrivato alla soluzione:
$-1
Io mi sono perso perché volevo risolvere ed unire i sistemi dati da
${ ( abs(x^2-4)-1>=0 ),( -abs(x-5)/(x^4-1) <0):} vv { ( abs(x^2-4)-1>=-abs(x-5)/(x^4-1) ),( -abs(x-5)/(x^4-1)>=0 ):} $
Comunque, per levarmi ogni dubbio, una disequazione del tipo
$abs(x^2-4)-1>=-abs(x-5)/(x^4-1)$, si puó risolvere solo graficamente?
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