Disequazione goniometrica
Salve a tutti. Sto effettuando un ripasso sulle disequazioni goniometriche, ma ho questo problema. Data la seguente disequazione:
$ sqrt(sin^2 x + |sin x| )> 1 + 2sinx $
devo trovare tutte le soluzioni. Ho provato a risolverla, ma mi sono ritrovato con un bel vuoto di memoria arrivando ad un certo punto dello svolgimento (sempre che sia corretto, le altre parti le ometto):
$(1)$ $ 3sin^2x+5sinx+1<0 $
ottengo questo:
$ (-5 - sqrt(13))/6 < sinx < (-5 + sqrt(13))/6 $
da intersecare con $sinx < 0$ (sono due disequazioni in un sistema)
bene, ho visualizzato graficamente le soluzioni di tale sistema con la circonferenza goniometrica (2 intervalli simmetrici nel 3° e 4° quadrante), ma non ricordo più come quantificarle
in particolare non sono sicuro se le soluzioni delle equazioni associate alla $(1)$ siano:
$ x = arcsin((-5 + sqrt(13))/6) $
$ x = π - arcsin((-5 + sqrt(13))/6) $
$ x = arcsin((-5 - sqrt(13))/6) $
$ x = π - arcsin((-5 - sqrt(13))/6) $
a cui bisogna aggiungere la periodicità di $2kπ$, e poi come bisogna ordinarle nelle disequazioni (per esempio quelle con $π - arcsin$ si trovano entrambe nel 3° quadrante ? o nel 4° ?)
Poi una domanda separata. E' vero che $sin^2x > -3/4$ è verificata per ogni x in R ?
Grazie anticipatamente
$ sqrt(sin^2 x + |sin x| )> 1 + 2sinx $
devo trovare tutte le soluzioni. Ho provato a risolverla, ma mi sono ritrovato con un bel vuoto di memoria arrivando ad un certo punto dello svolgimento (sempre che sia corretto, le altre parti le ometto):
$(1)$ $ 3sin^2x+5sinx+1<0 $
ottengo questo:
$ (-5 - sqrt(13))/6 < sinx < (-5 + sqrt(13))/6 $
da intersecare con $sinx < 0$ (sono due disequazioni in un sistema)
bene, ho visualizzato graficamente le soluzioni di tale sistema con la circonferenza goniometrica (2 intervalli simmetrici nel 3° e 4° quadrante), ma non ricordo più come quantificarle
in particolare non sono sicuro se le soluzioni delle equazioni associate alla $(1)$ siano: $ x = arcsin((-5 + sqrt(13))/6) $
$ x = π - arcsin((-5 + sqrt(13))/6) $
$ x = arcsin((-5 - sqrt(13))/6) $
$ x = π - arcsin((-5 - sqrt(13))/6) $
a cui bisogna aggiungere la periodicità di $2kπ$, e poi come bisogna ordinarle nelle disequazioni (per esempio quelle con $π - arcsin$ si trovano entrambe nel 3° quadrante ? o nel 4° ?)
Poi una domanda separata. E' vero che $sin^2x > -3/4$ è verificata per ogni x in R ?
Grazie anticipatamente
Risposte
Ciao,
la tua disequazione è del tipo $sqrt(D(x)) >= C(x)$ che si traduce nell'unione delle soluzioni di due sistemi
$ { ( C(x)<0 ),( D(x)>=0 ):} $
e
$ { ( C(x)>0 ),( D(x)> C^2(x) ):} $
quindi tu stai "parlando" delle soluzioni della seconda equazione del secondo sistema quando risolvendo il valore assoluto presente hai studiato la parte con $sinx<0$.
La funzione $arcsin$ è la funzione inversa della restrizione della funzione $sin$ all'intervallo $[-pi/2;pi/2]$ quindi restituisce angoli compresi in quell'intervallo. Se vuoi riportare il valore di un angolo $alpha in [-pi/2;0]$ nell'intervallo $[0;2pi]$
dovrai fare $pi-arcsin alpha$ facendo attenzione che anche per l'angolo simmetrico $2pi + arcsin alpha$ il $sin$ assume lo stesso valore che assume in $alpha$.
Ti faccio notare che $(-5-sqrt(13))/6 < -1$ perciò il $sin$ non può assumere quel valore.
$sin^2x > -3/4$ $AA x in R$ perché essendo elevato al quadrato è sempre positivo e quindi sempre maggiore di un numero negativo
la tua disequazione è del tipo $sqrt(D(x)) >= C(x)$ che si traduce nell'unione delle soluzioni di due sistemi
$ { ( C(x)<0 ),( D(x)>=0 ):} $
e
$ { ( C(x)>0 ),( D(x)> C^2(x) ):} $
quindi tu stai "parlando" delle soluzioni della seconda equazione del secondo sistema quando risolvendo il valore assoluto presente hai studiato la parte con $sinx<0$.
La funzione $arcsin$ è la funzione inversa della restrizione della funzione $sin$ all'intervallo $[-pi/2;pi/2]$ quindi restituisce angoli compresi in quell'intervallo. Se vuoi riportare il valore di un angolo $alpha in [-pi/2;0]$ nell'intervallo $[0;2pi]$
dovrai fare $pi-arcsin alpha$ facendo attenzione che anche per l'angolo simmetrico $2pi + arcsin alpha$ il $sin$ assume lo stesso valore che assume in $alpha$.
Ti faccio notare che $(-5-sqrt(13))/6 < -1$ perciò il $sin$ non può assumere quel valore.
$sin^2x > -3/4$ $AA x in R$ perché essendo elevato al quadrato è sempre positivo e quindi sempre maggiore di un numero negativo
Ciao, scusa per il ritardo 
Allora seguendo (spero correttamente) i tuoi consigli ho trovato queste soluzioni:
$ AA x in RR - {x = - pi/6} - {x = -5pi/6} - {pi < x <= pi−arcsin((−5+sqrt(13))/6)} $ $ - {arcsin((−5+sqrt(13))/6) <= x < 2pi} $
sono corrette ?
Per quanto riguarda l'altro dubbio, mi hai tranquillizzato
Non capisco perché W-A dia questa soluzione alla disequazione http://www.wolframalpha.com/input/?i=si ... %3E+-3%2F4 Di solito utilizzo questo sito per controllare i risultati delle disequazioni, purtroppo non ho i risultati essendo parte di compiti d'esame.
Grazie mille, e attendo risposta
Allora seguendo (spero correttamente) i tuoi consigli ho trovato queste soluzioni:$ AA x in RR - {x = - pi/6} - {x = -5pi/6} - {pi < x <= pi−arcsin((−5+sqrt(13))/6)} $ $ - {arcsin((−5+sqrt(13))/6) <= x < 2pi} $
sono corrette ?
Per quanto riguarda l'altro dubbio, mi hai tranquillizzato
Non capisco perché W-A dia questa soluzione alla disequazione http://www.wolframalpha.com/input/?i=si ... %3E+-3%2F4 Di solito utilizzo questo sito per controllare i risultati delle disequazioni, purtroppo non ho i risultati essendo parte di compiti d'esame.Grazie mille, e attendo risposta
Ciao,
hai scritto le soluzioni per così dire in "negativo": la periodicità alle soluzioni la devi mettere lo stesso perché ad esempio non solo $x=(7pi)/6$ è escluso ma sararnno esclusi tutti i valori $x=(7pi)/6 + 2k pi$ con $k in Z$. Manca da escludere tutti gli intervalli in cui $sinx >= 0$ (se fai la prova per esempio con $sinx=1/2$ troverai che la disequazione non è verificata). Inoltre poiché $arcsin((-5+sqrt(13))/6)$ è un angolo di circa $-13°$ cioè circa $-0.23 rad$ scrivere $ { arsin((-5+sqrt(13))/6) <= x < 2pi} $ significa escludere più di un angolo giro. Io la scriverei ${2pi + arsin((-5+sqrt(13))/6) <= x < 2pi}$.
Come scriverei le soluzioni:
$x in R:$ $pi - arsin((-5+sqrt(13))/6) pm 2kpi
hai scritto le soluzioni per così dire in "negativo": la periodicità alle soluzioni la devi mettere lo stesso perché ad esempio non solo $x=(7pi)/6$ è escluso ma sararnno esclusi tutti i valori $x=(7pi)/6 + 2k pi$ con $k in Z$. Manca da escludere tutti gli intervalli in cui $sinx >= 0$ (se fai la prova per esempio con $sinx=1/2$ troverai che la disequazione non è verificata). Inoltre poiché $arcsin((-5+sqrt(13))/6)$ è un angolo di circa $-13°$ cioè circa $-0.23 rad$ scrivere $ { arsin((-5+sqrt(13))/6) <= x < 2pi} $ significa escludere più di un angolo giro. Io la scriverei ${2pi + arsin((-5+sqrt(13))/6) <= x < 2pi}$.
Come scriverei le soluzioni:
$x in R:$ $pi - arsin((-5+sqrt(13))/6) pm 2kpi
Ciao, ho rifatto la disequazione perché come hai detto, c'era un'errore in $sinx >= 0$ che è da escludere (in pratica il sistema in cui stava non era mai vero). Stavolta scrivendo le soluzioni in "positivo" coincidono con le tue, anche se oggi un collega affermava che la disequazione non aveva soluzioni ... ma dubito che siamo in due a sbagliare !
Per quanto riguarda W-A credo sia quella la spiegazione, comunque per la disequazione in è tutto apposto.
Grazie
Per quanto riguarda W-A credo sia quella la spiegazione, comunque per la disequazione in è tutto apposto.
Grazie
P.S: è possibile che la disequazione sia verificata per $x=11pi/6±2kπ$ e $x=7pi/6±2kπ $ $ k in NN $ ? Sostituendo i valori pare di si.
Certo che vanno bene! io stupidamente nel secondo sistema in cui va scissa la disequazione ho messo $C(x)>0$ invece va scritto $C(x) >= 0$. Questa modifica fa si che i punti $x=(7pi)/6 pm 2k pi$ e $x=(11pi)/6 pm 2k pi$ vanno inseriti nella soluzione. Infatti come hai detto tu, sostiutendo direttamente nella disequazione uno di quei valori la relazione è verificata. Scusa, svista mea.
Ah ecco Ora è perfetta.
Ti ringrazio di tutto, sei stato gentilissimo
Ora è perfetta. Ti ringrazio di tutto, sei stato gentilissimo
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