Disequazione goniometrica.
Buongiorno,
ho il seguente problema con la disequazione, non la riesco a risolverla:
$log_2(-cosx)-log_4(senx+(1/2)) ge-1 $
la formula del cambiamento di base, richiede che l'argomento del logaritmo sia positivo, cioè per ogni $pi/2
$log_2(-cosx)=2log_4(-cosx)$, in $(pi/2,(3pi)/(2)).$
$log_4(-cosx) ge 1/2[log_4(senx+(1/2)) -1] $
$-cosx ge 1/2(senx+1/2) $
$senx+2cosx +1/2 le 0$.
Ora non so se ho fatto bene,quindi qualora fossero corretti i passaggi devo risolvere la precedente disequazione, impostanto il sistema
\(\displaystyle \begin{cases} x^2+y^2=1 \\2x+y+ \tfrac{1}{2} \le 0
\end{cases} \)
risolvendolo escono valori "strani", per cui presumo che c'è qualcosa che ho sbagliato.
Cordiali saluti.
ho il seguente problema con la disequazione, non la riesco a risolverla:
$log_2(-cosx)-log_4(senx+(1/2)) ge-1 $
la formula del cambiamento di base, richiede che l'argomento del logaritmo sia positivo, cioè per ogni $pi/2
$log_2(-cosx)=2log_4(-cosx)$, in $(pi/2,(3pi)/(2)).$
$log_4(-cosx) ge 1/2[log_4(senx+(1/2)) -1] $
$-cosx ge 1/2(senx+1/2) $
$senx+2cosx +1/2 le 0$.
Ora non so se ho fatto bene,quindi qualora fossero corretti i passaggi devo risolvere la precedente disequazione, impostanto il sistema
\(\displaystyle \begin{cases} x^2+y^2=1 \\2x+y+ \tfrac{1}{2} \le 0
\end{cases} \)
risolvendolo escono valori "strani", per cui presumo che c'è qualcosa che ho sbagliato.
Cordiali saluti.
Risposte
Ciao, ci sono diverse cose che non funzionano.
Innanzitutto non è la formula del cambiamento di base che richiede che l'argomento dell'argomento del logaritmo sia positivo. E' proprio la condizione di esistenza del logaritmo. Quindi prima ancora di toccare quella disequazione dovresti mettere le condizioni di esistenza sul testo i.e.
\[ \begin{cases} -\cos(x) >0 \\ \sin(x) +\frac{1}{2} >0 \end{cases} \]
E attento che la soluzione che hai dato della prima disequazione non tiene conto della periodicità del coseno, cioè manca un "\( + 2k \pi \) " a destra e a sinistra di \(x \) .
L'idea di usare la formula del cambiamento di base è corretta, ma non si capisce per quale stregoneria passi da
a
Innanzitutto non è la formula del cambiamento di base che richiede che l'argomento dell'argomento del logaritmo sia positivo. E' proprio la condizione di esistenza del logaritmo. Quindi prima ancora di toccare quella disequazione dovresti mettere le condizioni di esistenza sul testo i.e.
\[ \begin{cases} -\cos(x) >0 \\ \sin(x) +\frac{1}{2} >0 \end{cases} \]
E attento che la soluzione che hai dato della prima disequazione non tiene conto della periodicità del coseno, cioè manca un "\( + 2k \pi \) " a destra e a sinistra di \(x \) .
L'idea di usare la formula del cambiamento di base è corretta, ma non si capisce per quale stregoneria passi da
"galles90":
[...]
$ log_4(-cosx) ge 1/2[log_4(senx+(1/2)) -1] $
[...]
a
"galles90":
[...]
$ -cosx ge 1/2(senx+1/2) $
[...]
Ciao,
Si, volevo risolverla in quell'intervallo,anche se è un intervallo sbagliato. Quello corretto dovrebbe essere $I=]pi/2+2kpi,(7pi)/(6)+2kpi[$, con $k in mathbb{Z}$
Quindi per ogni $x in I$
$ log_4(-cosx) ge 1/2[log_4(senx+(1/2)) -1] $
$ log_4(-cosx) ge 1/2[log_4(senx+(1/2)) -1] to -cosx ge (1/2)(senx+(1/2))$
"Bremen000":
E attento che la soluzione che hai dato della prima disequazione non tiene conto della periodicità del coseno, cioè manca un "\( + 2k \pi \) " a destra e a sinistra di \( x \) .
Si, volevo risolverla in quell'intervallo,anche se è un intervallo sbagliato. Quello corretto dovrebbe essere $I=]pi/2+2kpi,(7pi)/(6)+2kpi[$, con $k in mathbb{Z}$
Quindi per ogni $x in I$
"Bremen000":
L'idea di usare la formula del cambiamento di base è corretta, ma non si capisce per quale stregoneria passi da ....
$ log_4(-cosx) ge 1/2[log_4(senx+(1/2)) -1] $
$ log_4(-cosx) ge 1/2[log_4(senx+(1/2)) -1] to -cosx ge (1/2)(senx+(1/2))$
Dove pensi che ci sia l'errore c'è l'errore, in effetti. Semplicemente
\[ \log_4(-\cos(x) ) - \frac{1}{2} \log_4 \biggl ( \sin(x)+ \frac{1}{2} \biggr ) + \frac{1}{2} \ge 0 \]
\[ \log_4 (\cos^2(x)) - \log_4 \biggl ( \sin(x)+ \frac{1}{2} \biggr ) + \log_4(2) \ge 0 \]
\[ \log_4 \Biggl ( \frac{2 \cos^2(x)}{\sin(x)+\frac{1}{2}} \Biggr ) \ge 0 \]
\[ \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)+\frac{1}{2}} \ge 1 \]
Che per come sono le condizioni di esistenza è risolta da
\[ \cos^2(x)-\sin(x)-\frac{1}{2} \ge 0 \]
Sbaglio spesso questo tipo di conti, quindi vaglia bene quello che ho scritto. La strategia comunque consiste nello scrivere tutti gli addendi come \( \log_4 \) di qualcosa.
Mi sento di consigliarti, se devi preparare analisi, di dare un'occhiata a qualche libro del liceo per lo scientifico; insomma, questo non è un esercizio di analisi 1.
\[ \log_4(-\cos(x) ) - \frac{1}{2} \log_4 \biggl ( \sin(x)+ \frac{1}{2} \biggr ) + \frac{1}{2} \ge 0 \]
\[ \log_4 (\cos^2(x)) - \log_4 \biggl ( \sin(x)+ \frac{1}{2} \biggr ) + \log_4(2) \ge 0 \]
\[ \log_4 \Biggl ( \frac{2 \cos^2(x)}{\sin(x)+\frac{1}{2}} \Biggr ) \ge 0 \]
\[ \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)+\frac{1}{2}} \ge 1 \]
Che per come sono le condizioni di esistenza è risolta da
\[ \cos^2(x)-\sin(x)-\frac{1}{2} \ge 0 \]
Sbaglio spesso questo tipo di conti, quindi vaglia bene quello che ho scritto. La strategia comunque consiste nello scrivere tutti gli addendi come \( \log_4 \) di qualcosa.
Mi sento di consigliarti, se devi preparare analisi, di dare un'occhiata a qualche libro del liceo per lo scientifico; insomma, questo non è un esercizio di analisi 1.
Ci sono anche eserciziari di analisi per l'università che contengono disequazioni, quello di Marcellini e Sbordone per esempio. Il problema di usare i libri dello scientifico per l'università è che sono moooolto prolissi, blablabla di qua e di là, perché sono pensati per essere somministrati ben diluiti durante tutto un anno.
Quando ho fatto Analisi 1 anche io ho avuto bisogno di un ripasso delle basi e ho usato libri dell'università, sono più difficili ma è giusto che sia così. Oltre agli esercizi di Marcellini e Sbordone io ho usato anche un manuale di Antonio Avantaggiati, che sarà sicuramente fuori catalogo ormai, ma che conteneva una appendice sulle basi. Sicuramente ci saranno altri libri così in commercio o nelle biblioteche.
Quando ho fatto Analisi 1 anche io ho avuto bisogno di un ripasso delle basi e ho usato libri dell'università, sono più difficili ma è giusto che sia così. Oltre agli esercizi di Marcellini e Sbordone io ho usato anche un manuale di Antonio Avantaggiati, che sarà sicuramente fuori catalogo ormai, ma che conteneva una appendice sulle basi. Sicuramente ci saranno altri libri così in commercio o nelle biblioteche.
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