Disequazione funzionale

[qwertyuio1]

Ciao a tutti. Vorrei sottoporre un quesito forse banale, ma che per me avrebbe conseguenze piuttosto importanti, dunque sono molto grato a chiunque voglia aiutarmi.
Consideriamo la disequazione

$log(a_n+c)/log(a_n)<=(n+1)/n$

dove $c>0$ è una costante fissata e $(a_n)_{n\in\NN}$ è una successione in $\RR^+$.

Se poniamo $c=1$ e $a_n:=e^n$ vediamo subito che la disuguaglianza è verificata.

Secondo voi è vero che in generale se $(a_n)_{n\in\NN}$ va più veloce di un'esponenziale, precisamente se

$a_n>=K *e^{\alpha*n}$ con $K,\alpha>0$ ,

allora la disuguaglianza è verificata per ogni $n$ sufficientemente grande?

Facendo un po' di grafici con Mathematica sembra vero. Come posso dimostrarlo?

[gugo82]

Il logaritmo è crescente e positivo se l'argomento è \(>1\); pertanto, qualunque sia \(x>1\) si ha:
\[
\frac{\log (x+c)}{\log x}\leq 1\; ;
\]
dato che \(\frac{n+1}{n}\geq 1\), non appena \(a_n>1\) si ha:
\[
\frac{\log (a_n+c)}{\log a_n} \leq \frac{n+1}{n}\; .
\]
Quindi, riassumendo, la tua disuguaglianza è vera per ogni \(n\) se la successione \((a_n)\) è fatta da numeri \(>1\) (qualunque essi siano).

[qwertyuio1]

Scusa ma, visto che il logaritmo è crescente si ha l'opposto:
$log(x+c)>=log(x) \rightarrow log(x+c)/log(x)>=1$
che non mi aiuta con la mia disuguglianza.

Se per esempio prendiamo $a_n=4$ costante, tracciando i grafici si vede che la disuguglianza non è verificata.

[gugo82]

Hai ragionissima, qwertyuio, ho fatto confusione.
Ad ogni modo, sempre ragionando come sopra, affinché sia soddisfatta \(\log(x+c)/\log x \leq 1\) basta che \(0

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