Disequazione esponenziale
non ho capito bene come si arriva al risultato di questa disequazione:
$ y^2-x^4geq 0 $
svolgo e faccio:
$ y^2geqx^4=ygeqx^2 $
il risultato oltre a questo è: $ yleq-x^2 $
a me viene da pensare come se fosse per valori della x esterni ad y, ma vorrei sapere il ragionamento da fare
inoltre il libro dice che la funzione è definita per i punti x,y al di sopra della parabola $y=x^2$ (che sarebbe il risultato che ho trovato io) e per i punti al di sotto della parabola $y=-x^2$ (che è il risultato che aggiunge il libro)
$ y^2-x^4geq 0 $
svolgo e faccio:
$ y^2geqx^4=ygeqx^2 $
il risultato oltre a questo è: $ yleq-x^2 $
a me viene da pensare come se fosse per valori della x esterni ad y, ma vorrei sapere il ragionamento da fare
inoltre il libro dice che la funzione è definita per i punti x,y al di sopra della parabola $y=x^2$ (che sarebbe il risultato che ho trovato io) e per i punti al di sotto della parabola $y=-x^2$ (che è il risultato che aggiunge il libro)
Risposte
Innanzitutto $y^2-x^4\geq0\implies(y-x^2)(y+x^2)\geq0$, perciò devi studiare due disequazioni e unire i loro risultati cercando gli intervalli che soddisfano la disequazione (ovvero gli intervalli che risultano essere positivi). Hai
$y-x^2\geq0\implies y\geqx^2$
$y+x^2\geq0\implies y\geq-x^2$
Quindi devi tracciarti le parabole $y=x^2$ e $y=-x^2$ nel piano $Oxy$ e devi studiare l'alternanza dei segni scegliendo gli intervalli in cui il prodotto dei segni delle due disequazioni è positivo (bisogna comprendere anche i "bordi" delle funzioni). Le immagini dovrebbero chiarirti le idee:
Le soluzioni sono le parti contrassegnate da $+$
$y-x^2\geq0\implies y\geqx^2$
$y+x^2\geq0\implies y\geq-x^2$
Quindi devi tracciarti le parabole $y=x^2$ e $y=-x^2$ nel piano $Oxy$ e devi studiare l'alternanza dei segni scegliendo gli intervalli in cui il prodotto dei segni delle due disequazioni è positivo (bisogna comprendere anche i "bordi" delle funzioni). Le immagini dovrebbero chiarirti le idee:
Le soluzioni sono le parti contrassegnate da $+$
come si determinano i segni nel grafico? cioè perchè dici che all'interno della parabola sono positivi ed all'esterno no?
Il risultato positivo lo ottieni moltiplicando due termini concordi: tutti e due negativi o tutti e due positivi.
Robe92 ha indicato sul piano dove il segno che assume ciascun fattore della moltiplicazione $(x^2-y)(x^2+y)$ poi ha fatto il prodotto dei segni: un + e un - fa -, due + fa+, due - fa +. Ti torna?
Robe92 ha indicato sul piano dove il segno che assume ciascun fattore della moltiplicazione $(x^2-y)(x^2+y)$ poi ha fatto il prodotto dei segni: un + e un - fa -, due + fa+, due - fa +. Ti torna?
mi torna, il passaggio che mi manca è quello precedente a quello che dici tu.
avendo ottenuto le due parabole, come faccio a sapere se i valori positivi sono interni o esterni alla curva?
se per esempio prendo la prima parabola $y=x^2$ come faccio a sapere se all'interno della parabola devo considerare positivo o negativo? questo è quello che mi manca.
avendo ottenuto le due parabole, come faccio a sapere se i valori positivi sono interni o esterni alla curva?
se per esempio prendo la prima parabola $y=x^2$ come faccio a sapere se all'interno della parabola devo considerare positivo o negativo? questo è quello che mi manca.
Allora il fattore $(y-x^2)$ è positivo quando il valore della y è superiore al valore del quadrato di x, se disegni la parabola ottieni tutte le infinite coppie di punti in cui y è uguale al quadrato di x, se scegli un punto "interno" vedi che l'ordinata del punto $y_p$ è superiore alla y che corrisponde al quadrato di x e che appartiene alla curva in oggetto, quei punti dunque rappresentano una coppia di reali tale per cui y è maggiore di x^2. Sono riuscita aspiegarmi?
ok ora è chiaro, quindi devo andare per sostituzione nell'equazione!
grazie!
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