Disequazione esponenziale
Buongiorno a tutti,
Durante lo studio della derivata seconda di una funzione mi sono imbattuto in un'equazione esponenziale dalla quale non riesco ad uscirne vivo! Ho provato con la sostituzione $y=e^(2x)$ ottenendo $y^2-60y+100>=0$ ma non sono sicuro che si possa risolvere in questo modo. Qualcuno può aiutarmi a capire come muovermi? L'equazione esponenziale è la seguente:
$e^(4x)-60e^(2x)+100>=0$
Grazie
Durante lo studio della derivata seconda di una funzione mi sono imbattuto in un'equazione esponenziale dalla quale non riesco ad uscirne vivo! Ho provato con la sostituzione $y=e^(2x)$ ottenendo $y^2-60y+100>=0$ ma non sono sicuro che si possa risolvere in questo modo. Qualcuno può aiutarmi a capire come muovermi? L'equazione esponenziale è la seguente:
$e^(4x)-60e^(2x)+100>=0$
Grazie
Risposte
Invece è corretto ciò che proponi:
\[ y^2 -60y + 100 \geq 0 \iff y \leq 30 - 20 \sqrt{2} \ \vee \ y \geq 30 + 20 \sqrt{2} \]
Quindi, risostituendo:
\[ y = e^{2x} = 30 \pm 20 \sqrt{2} \implies x = \frac{1}{2} \ln \left ( 30 \pm 20 \sqrt{2} \right ) \]
Quindi, la soluzione è
\[ x \leq \frac{1}{2} \ln \left ( 30 - 20 \sqrt {2} \right ) \ \vee \ x \geq \frac{1}{2} \ln \left ( 30 + 20 \sqrt{2} \right ) \]
\[ y^2 -60y + 100 \geq 0 \iff y \leq 30 - 20 \sqrt{2} \ \vee \ y \geq 30 + 20 \sqrt{2} \]
Quindi, risostituendo:
\[ y = e^{2x} = 30 \pm 20 \sqrt{2} \implies x = \frac{1}{2} \ln \left ( 30 \pm 20 \sqrt{2} \right ) \]
Quindi, la soluzione è
\[ x \leq \frac{1}{2} \ln \left ( 30 - 20 \sqrt {2} \right ) \ \vee \ x \geq \frac{1}{2} \ln \left ( 30 + 20 \sqrt{2} \right ) \]
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