Disequazione di sesto e ottavo grado
Ciao a tutti, sono nuovo, sono uno studente di Ingegneria.
Mi sono imbattuto nello studio della seguente funzione:
$ f(x)=e^x/(x^2+1) $
Ho già calcolato intersezioni, studiato il segno e fatto i limiti, adesso alla derivata seconda mi sono bloccato in quanto mi viene fuori una cosa mostruosa ovvero:
Numeratore: $ (x^6-4x^5+5x^4-8x^3+7x^2-4x-1)*e^x >= 0 $
Denominatore: $ x^8+4x^6+6x^4+4x^2+1 > 0 $
Il denominatore è sempre positivo, in quanto essendo tutte potenze pari non verrà mai un numero < 0
Per il numeratore, come posso procedere alla risoluzione ? L'esponenziale è sempre positivo, ma l'equazione dentro parentesi può essere negativa, e quindi di conseguenza diventa negativo il numeratore giusto !?
Aiutatemi per favore.
Mi sono imbattuto nello studio della seguente funzione:
$ f(x)=e^x/(x^2+1) $
Ho già calcolato intersezioni, studiato il segno e fatto i limiti, adesso alla derivata seconda mi sono bloccato in quanto mi viene fuori una cosa mostruosa ovvero:
Numeratore: $ (x^6-4x^5+5x^4-8x^3+7x^2-4x-1)*e^x >= 0 $
Denominatore: $ x^8+4x^6+6x^4+4x^2+1 > 0 $
Il denominatore è sempre positivo, in quanto essendo tutte potenze pari non verrà mai un numero < 0
Per il numeratore, come posso procedere alla risoluzione ? L'esponenziale è sempre positivo, ma l'equazione dentro parentesi può essere negativa, e quindi di conseguenza diventa negativo il numeratore giusto !?
Aiutatemi per favore.
Risposte
Sicuro che esce fuori questo? Il denominatore è nient'altro che $(x^2+1)^4$, dal risultato che vedo qua http://www.derivative-calculator.net/
mi sembra che il numeratore ti si debba semplificare, ma l'espressione che hai ottenuto non si semplifica col numeratore, hai rivito i calcoli?
mi sembra che il numeratore ti si debba semplificare, ma l'espressione che hai ottenuto non si semplifica col numeratore, hai rivito i calcoli?
ciao angelino
benvenuto sul forum
puoi per favore togliere la parola help dal titolo? (il regolamento lo vieta)
Usa il tasto modifica in alto a destra
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puoi per favore togliere la parola help dal titolo? (il regolamento lo vieta)
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"Steven":
Sicuro che esce fuori questo? Il denominatore è nient'altro che $(x^2+1)^4$, dal risultato che vedo qua http://www.derivative-calculator.net/
mi sembra che il numeratore ti si debba semplificare, ma l'espressione che hai ottenuto non si semplifica col numeratore, hai rivito i calcoli?
L'ho rivista ed è giusta, c'era solo un errore nel numeratore, il coefficiente del termine in x^4 non è +5 ma +9. Per il resto è giusta!
Che faccio !?
Quell'errore cambia tutto, poiché ora hai che il numeratore si annulla in $x=1$ e quindi è scomponibile.
In realtà, dal momento che al denominatore hai $(x^2+1)^4$, la cosa migliore sarebbe che il numeratore si scomponga e $x^2+1$ appaia nella scomposizione, per poter semplificare. In effetti questo accade, come puoi vedere con l'algoritmo di divisione tra polinomi, visto che si ha
$x^6−4x^5+9x^4−8x^3+7x^2−4x−1=(x^2+1)(x-1)(x^3-3x^2+5x+1)$.
Ciao!
In realtà, dal momento che al denominatore hai $(x^2+1)^4$, la cosa migliore sarebbe che il numeratore si scomponga e $x^2+1$ appaia nella scomposizione, per poter semplificare. In effetti questo accade, come puoi vedere con l'algoritmo di divisione tra polinomi, visto che si ha
$x^6−4x^5+9x^4−8x^3+7x^2−4x−1=(x^2+1)(x-1)(x^3-3x^2+5x+1)$.
Ciao!
"Steven":
Quell'errore cambia tutto, poiché ora hai che il numeratore si annulla in $x=1$ e quindi è scomponibile.
In realtà, dal momento che al denominatore hai $(x^2+1)^4$, la cosa migliore sarebbe che il numeratore si scomponga e $x^2+1$ appaia nella scomposizione, per poter semplificare. In effetti questo accade, come puoi vedere con l'algoritmo di divisione tra polinomi, visto che si ha
$x^6−4x^5+9x^4−8x^3+7x^2−4x−1=(x^2+1)(x-1)(x^3-3x^2+5x+1)$.
Ciao!
Potresti spiegarmi come ti viene fuori quel $ x^6−4x^5+9x^4−8x^3+7x^2−4x−1=(x^2+1)(x-1)(x^3-3x^2+5x+1) $
Il problema sorge dal fatto che tendi a calcolare le derivate senza operare le opportune semplificazioni ma facendo i "volgari" calcoli. La derivata prima risulta
$$f'(x)=\frac{e^x(x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$$
Pertanto per la derivata seconda si ha
$$f''(x)=\frac{[e^x(x-1)^2+e^x\cdot 2(x-1)](x^2+1)^2-e^x(x-1)^2\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}=\\
=\frac{e^x(x-1)(x-1+2)(x^2+1)^2-4xe^x(x-1)^2(x^2+1)}{(x^2+1)^4}=\\
=\frac{e^x(x-1)(x^2+1)[(x+1)(x^2+1)-4x(x-1)]}{(x^2+1)^4}=\\
=\frac{e^x(x-1)(x^3+x+x^2+1-4x^2+4x)}{(x^2+1)^3}=\frac{e^x(x-1)(x^3-3x^2+5x+1)}{(x^2+1)^3}$$
$$f'(x)=\frac{e^x(x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$$
Pertanto per la derivata seconda si ha
$$f''(x)=\frac{[e^x(x-1)^2+e^x\cdot 2(x-1)](x^2+1)^2-e^x(x-1)^2\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}=\\
=\frac{e^x(x-1)(x-1+2)(x^2+1)^2-4xe^x(x-1)^2(x^2+1)}{(x^2+1)^4}=\\
=\frac{e^x(x-1)(x^2+1)[(x+1)(x^2+1)-4x(x-1)]}{(x^2+1)^4}=\\
=\frac{e^x(x-1)(x^3+x+x^2+1-4x^2+4x)}{(x^2+1)^3}=\frac{e^x(x-1)(x^3-3x^2+5x+1)}{(x^2+1)^3}$$
"ciampax":
Il problema sorge dal fatto che tendi a calcolare le derivate senza operare le opportune semplificazioni ma facendo i "volgari" calcoli. La derivata prima risulta
$$f'(x)=\frac{e^x(x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$$
Pertanto per la derivata seconda si ha
$$f''(x)=\frac{[e^x(x-1)^2+e^x\cdot 2(x-1)](x^2+1)^2-e^x(x-1)^2\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}=\\
=\frac{e^x(x-1)(x-1+2)(x^2+1)^2-4xe^x(x-1)^2(x^2+1)}{(x^2+1)^4}=\\
=\frac{e^x(x-1)(x^2+1)[(x+1)(x^2+1)-4x(x-1)]}{(x^2+1)^4}=\\
=\frac{e^x(x-1)(x^3+x+x^2+1-4x^2+4x)}{(x^2+1)^3}=\frac{e^x(x-1)(x^3-3x^2+5x+1)}{(x^2+1)^3}$$
Grazie mille mi sei stato di grande aiuto
Vi faccio gli auguri per un sereno e felice anno nuovo
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