Disequazione di Bernoulli - dimostrazione per induzione
Ciao a tutti, e' la mia prima volta sul forum, quindi spero di fare le cose per bene.
La matematica non e' il mio punto forte
ma sto cercando di rimediare...
Data questa: $(1+a)^n >= 1+na$
Ipotesi: $(1+a)^n >= 1+na$ , e questo va bene
Tesi: $(1+a)^(n+1) >= 1+(n+1)a$ , ed anche qui e' facile: sostituisco $(n+1)$ a $n$
Cercando su internet, tra vari esempi compare sempre:
$(1+a)^n (1+a) >= (1+na)(1+a)$
Per quanto riguarda la "roba" alla dx della disequazione, ci arrivo( moltiplico un'altra volta per (1+a) ed ottengo n+1).
Il problema e' a sx: avrei pensato di fare: $1+(n+1)a=1+na+a$ ma cosi' non vado da nessuna parte...
Perche' nell'esempio, anche a sx moltiplico per (1+a)???
Dove sbaglio?
Grazie in anticipo.
La matematica non e' il mio punto forte
ma sto cercando di rimediare...Data questa: $(1+a)^n >= 1+na$
Ipotesi: $(1+a)^n >= 1+na$ , e questo va bene
Tesi: $(1+a)^(n+1) >= 1+(n+1)a$ , ed anche qui e' facile: sostituisco $(n+1)$ a $n$
Cercando su internet, tra vari esempi compare sempre:
$(1+a)^n (1+a) >= (1+na)(1+a)$
Per quanto riguarda la "roba" alla dx della disequazione, ci arrivo( moltiplico un'altra volta per (1+a) ed ottengo n+1).
Il problema e' a sx: avrei pensato di fare: $1+(n+1)a=1+na+a$ ma cosi' non vado da nessuna parte...
Perche' nell'esempio, anche a sx moltiplico per (1+a)???
Dove sbaglio?
Grazie in anticipo.
Risposte
Vuoi mostrare che, assunta vera la disuguaglianza \((1+a)^n\geq 1+na\), da essa segue che è vera pure la disuguaglianza \((1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1) a\).
Innanzitutto, nota che la disuguaglianza da provare prevede \(a\geq -1\), di modo che \(1+a\geq 0\). A questo punto, per le proprietà della potenza, le proprietà della relazione d'ordine e per l'ipotesi induttiva, hai:
\[
\begin{split}
(1+a)^{n+1} &= \underbrace{(1+a)^n}_{\color{maroon}{\geq 1+na}}\ (1+a)\\
&\geq (1+na)\ (1+a)\\
&= 1+(n+1)a + \underbrace{na^2}_{\color{maroon}{\geq 0}}\\
&\geq 1+(n+1)a
\end{split}
\]
e questa, eliminando i membri più interni della catena, è proprio la disuguaglianza che dovevi provare.
P.S.: Una nota terminologica.
Disequazione e disuguaglianza sono termini diversi che si riferiscono a problemi diversi (ancorché tra loro legati): infatti, si chiama disequazione il problema di dire se esistono, ed eventualmente determinarli esplicitamente, valori delle variabili \(x_1,\ldots ,x_N\) tali che valga la disuguaglianza \(f(x_1,\ldots ,x_N)\geq 0\) (o \(>0\)), in cui \(f\) è una funzione assegnata "a priori"... Quindi, in parole povere, una disequazione è un problema da risolvere per sé, mentre una disuguaglianza è una semplice relazione d'ordine (di cui è già noto, di solito, l'insieme di validità).
Innanzitutto, nota che la disuguaglianza da provare prevede \(a\geq -1\), di modo che \(1+a\geq 0\). A questo punto, per le proprietà della potenza, le proprietà della relazione d'ordine e per l'ipotesi induttiva, hai:
\[
\begin{split}
(1+a)^{n+1} &= \underbrace{(1+a)^n}_{\color{maroon}{\geq 1+na}}\ (1+a)\\
&\geq (1+na)\ (1+a)\\
&= 1+(n+1)a + \underbrace{na^2}_{\color{maroon}{\geq 0}}\\
&\geq 1+(n+1)a
\end{split}
\]
e questa, eliminando i membri più interni della catena, è proprio la disuguaglianza che dovevi provare.
P.S.: Una nota terminologica.
Disequazione e disuguaglianza sono termini diversi che si riferiscono a problemi diversi (ancorché tra loro legati): infatti, si chiama disequazione il problema di dire se esistono, ed eventualmente determinarli esplicitamente, valori delle variabili \(x_1,\ldots ,x_N\) tali che valga la disuguaglianza \(f(x_1,\ldots ,x_N)\geq 0\) (o \(>0\)), in cui \(f\) è una funzione assegnata "a priori"... Quindi, in parole povere, una disequazione è un problema da risolvere per sé, mentre una disuguaglianza è una semplice relazione d'ordine (di cui è già noto, di solito, l'insieme di validità).
...perdona la mia ignoranza, ma perche' anche a sx compare il termine $(1+a)$ che moltiplica $1+na$ ??
Sai certamente che se \(x\geq y\) e \(c\geq 0\), allora \(x c\geq y c\)... Beh, che succede se prendi \(x=(1+a)^n\), \(y=1+na\) e \(c=1+a\)? 
Hehee, proprio quelo che mi serviva!
Grazie mille
Grazie mille
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