Disequazione da dimostrare tramite induzione.

[Valoyeah93]

Salve a tutti.
Non riesco a dimostrare questa disequazione per induzione.

[size=150]\( \binom{2n}{n} \geq 2^n; \space \space \forall n \in \mathbb{N} \) [/size]

La base induttiva è facilmente verificabile, ma il passo induttivo mi risulta irrisolvibile. Per la precisione, partendo da P(n + 1) per arrivare a P(n) arrivo a questo punto morto. (Fate finta che sopra ai maggiori uguali ci sia un punto di domanda)

$ ((2n+1)(2n!))/((n+1)(n!)^2) >= 2^n $

ovvero:

$ ( (2n), (n) ) (2n+1)/(n+1) >= 2^n $

Punto da cui non riesco a continuare.
Vi ringrazio per l'attenzione.

[stormy1]

per la precisione,ipotizzando che P(n) sia vera devi dimostrare che P(n+1) è vera
ebbene,
$ ( (2n+2), (n+1) )=((2n)! )/(n!n!)((2n+2)(2n+1))/(n+1)^2 $
non ti resta che dimostrare che il 2° fattore è maggiore o uguale a 2 ed hai finito (alla faccia dei matematici intuizionisti )

[kobeilprofeta]

devo dimostrare che $((2n),(n))>=2^n$ implica $((2n+2),(n+1))>=2^(n+1)$.
$frac{(2n)!}{(n!)*(n!)}>=2^n$ moltiplico per $2*frac{(2n+1)*(2n+2)}{(n+1)^2}$ (quantità positiva) $2*((2n+2),(n+1))>=2^(n+1)*frac{(2n+1)*(2n+2)}{(n+1)^2}$, che implica la tesi se $frac{(2n+1)*(2n+2)}{(n+1)^2*2}>=1$, il che è vero.

[kobeilprofeta]

Se non ti è chiaro l'ultimo passaggio:

Svolgendo i calcoli si arriva a:
$4n^2+6n+2>=2n^2+4n+2$
cioè (verifico per $n=0$, che sinceramente non so se è da considerare)
e $4n+6>=2n+4$ diventa $2n>=-2$ che è vero dato che $n>0$