Disequazione contenente la parte intera di x
Buonasera a tutti!
Devo risolvere la disequazione: $x-[x]^2+2>0$, dove $[x]$ denota la parte intera di $x$. Come posso procedere? Non ho trovato esempi simili, purtroppo!
Ringrazio anticipatamente chi mi darà dei suggerimenti.
Andrea
Devo risolvere la disequazione: $x-[x]^2+2>0$, dove $[x]$ denota la parte intera di $x$. Come posso procedere? Non ho trovato esempi simili, purtroppo!
Ringrazio anticipatamente chi mi darà dei suggerimenti.
Andrea
Risposte
Bella domanda... Ho tracciato un grafico della funzione. La disequazione dovrebbe essere verificata per $-10$), ma francamente non so perchè aggiungere anche $2
Scusa per la vaghezza, ora ci penso ancora un po'...
Scusa per la vaghezza, ora ci penso ancora un po'...
Ok. Ma non si potrebbe tentare di risolvere la disequazione avvalendosi di alcune proprietà della parte intera? Istintivamente anche io ho disegnato il grafico con Derive, ma non saprei come procedere prescindendo dalla rappresentazione grafica! 
[Ho lanciato un'idea, ma di fatto non ho mai affrontato in maniera approfondita questo argomento...]
[Ho lanciato un'idea, ma di fatto non ho mai affrontato in maniera approfondita questo argomento...]
"Andrea90":
Ok. Ma non si potrebbe tentare di risolvere la disequazione avvalendosi di alcune proprietà della parte intera?
Esatto, è quello che ho pensato anche io. Ma che proprietà conosciamo
?
Calma, giovani 
Una proprietà della parte intera, invero abbastanza intuitiva e banale, è
$[x]<=x$
Ora l'equazione: distinguo due casi, ora mi metto nel caso $x>0$ ($x=0$ verifica banalmente).
Quindi dalla proprietà di prima ho
$[x]^2<=x^2$ (la funzione quadrato è crescente)
cioè ne viene che
$x+2-x^2<=x+2-[x]^2$ quindi se risolvo $0
Ora però c'è il rischio che ci siamo persi pezzi: allora materia grigia
Vediamo che se $x=3$
$x+2-[x]^2>0$ non è vera. Se aumento $x$, peggio ancora. Allora suppungo $x\in[2,3)$
La parte intera, per gli $x$ in quell'intervallo semiaperto, ha la decenza di valere proprio $2$.
Quindi mi riduco a fare
$x+2-4>0$ ovvero $x-2>0$ ovvero $x>2$. Intersecando con $[2,3)$ ottengo che anche i valori in $(2,3)$ quindi soddisfano.
$x=2$ non va bene (si vede a mano).
Quindi ho che la dis. è soddisfatta per
$x\in[0,3)-{2}$
E un po' lunghetto magari, ma scorrevole tutto sommato.
Per completare il quadro delle soluzioni, mettiti nel caso $x<0$ e ragione analogamente.
ps: analogamente non credo si faccia molto nel caso $x<0$. Comunque è facile lo stesso, basta vedere che accade se faccio andare $x$ troppo a sinistra...
Ciao!
Una proprietà della parte intera, invero abbastanza intuitiva e banale, è
$[x]<=x$
Ora l'equazione: distinguo due casi, ora mi metto nel caso $x>0$ ($x=0$ verifica banalmente).
Quindi dalla proprietà di prima ho
$[x]^2<=x^2$ (la funzione quadrato è crescente)
cioè ne viene che
$x+2-x^2<=x+2-[x]^2$ quindi se risolvo $0
Ora però c'è il rischio che ci siamo persi pezzi: allora materia grigia
Vediamo che se $x=3$
$x+2-[x]^2>0$ non è vera. Se aumento $x$, peggio ancora. Allora suppungo $x\in[2,3)$
La parte intera, per gli $x$ in quell'intervallo semiaperto, ha la decenza di valere proprio $2$.
Quindi mi riduco a fare
$x+2-4>0$ ovvero $x-2>0$ ovvero $x>2$. Intersecando con $[2,3)$ ottengo che anche i valori in $(2,3)$ quindi soddisfano.
$x=2$ non va bene (si vede a mano).
Quindi ho che la dis. è soddisfatta per
$x\in[0,3)-{2}$
E un po' lunghetto magari, ma scorrevole tutto sommato.
Per completare il quadro delle soluzioni, mettiti nel caso $x<0$ e ragione analogamente.
ps: analogamente non credo si faccia molto nel caso $x<0$. Comunque è facile lo stesso, basta vedere che accade se faccio andare $x$ troppo a sinistra...
Ciao!
E' vero, che figo . Si vede che a volte i vecchietti servono proprio ( , senza offesa Steve, lo sai).
Thank you.
. Si vede che a volte i vecchietti servono proprio ( , senza offesa Steve, lo sai). Thank you.
Grazie per le risposte! Buona serata.
Andrea
Andrea
Prego!
ps: ora che ci penso, Paolo, tu che ci fai qui? Non dovresti stare a chiudere topic?
ps: ora che ci penso, Paolo, tu che ci fai qui? Non dovresti stare a chiudere topic?
"Steven":
Prego!
ps: ora che ci penso, Paolo, tu che ci fai qui? Non dovresti stare a chiudere topic?
Già, già, hai ragione.. vado vado, vado pedalando... di corsa. Ero solo in pausa caffè
... Ah, la dura vita dei pivellini...Ciao e grazie, mitico Steve.
Già che passo di qui...
Per $x>= 0$ si può scrivere $x=[x]+\{x\}$, con $[x]="parte intera di " x$ e $\{ x\}="parte frazionaria di " x$ e $[x]\in NN, \{x\} \in [0,1[$.
Sostituendo nella disequazione troviamo $[x]-[x]^2+2+\{ x\}>0$ ossia:
$\{ x\}>[x]^2-[x]-2$;
per verificare la disequazione occorre e basta che:
$\{ (\{ x\}>0),(0>= [x]^2-[x]-2):} \quad $ oppure $\quad \{(\{x\}=0),(0>[x]^2-[x]-2):}$;
posto per comodità $n=[x]$, la disequazione $n^2-n-2<=0$ è verificata solo se $n<=[(1+sqrt(1+8))/2]=2$, per cui le prime condizioni sono verificate se $[x]<=2 " ed " x\notin NN$ ovvero se:
$x\in [0,3[ \setminus \{0,1,2\}$;
d'altra parte le seconde sono verificate solo se $[x]<2 " ed " x\in NN$, ossia se:
$x\in \{0,1\}$.
Unendo troviamo che le soluzioni positive sono nell'insieme $[0,3[ \setminus\{ 2\}$ (come già detto da Steven).
Per $x>= 0$ si può scrivere $x=[x]+\{x\}$, con $[x]="parte intera di " x$ e $\{ x\}="parte frazionaria di " x$ e $[x]\in NN, \{x\} \in [0,1[$.
Sostituendo nella disequazione troviamo $[x]-[x]^2+2+\{ x\}>0$ ossia:
$\{ x\}>[x]^2-[x]-2$;
per verificare la disequazione occorre e basta che:
$\{ (\{ x\}>0),(0>= [x]^2-[x]-2):} \quad $ oppure $\quad \{(\{x\}=0),(0>[x]^2-[x]-2):}$;
posto per comodità $n=[x]$, la disequazione $n^2-n-2<=0$ è verificata solo se $n<=[(1+sqrt(1+8))/2]=2$, per cui le prime condizioni sono verificate se $[x]<=2 " ed " x\notin NN$ ovvero se:
$x\in [0,3[ \setminus \{0,1,2\}$;
d'altra parte le seconde sono verificate solo se $[x]<2 " ed " x\in NN$, ossia se:
$x\in \{0,1\}$.
Unendo troviamo che le soluzioni positive sono nell'insieme $[0,3[ \setminus\{ 2\}$ (come già detto da Steven).
Grazie per aver proposto un'ulteriore via risolutiva!
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