Disequazione con parametro

[lil_lakes]

Buonasera,
in una passata prova d'esame è presente questa traccia:

Stabilire se esiste qualche valore $A > 0$ tale che, per ogni $x!=0$

$1/(x^2-10x+27)<=A/x^2$

io ho trasformato in:

$(x^2-Ax^2+10Ax-27A)/((x^2-10x+27)x)<=0\rArr$
$\rArr((1-A)x^2+10Ax-27A)/((x^2-10x+27)x)<=0$

Calcolando il $\Delta$ del numeratore, se non ho commesso errori, ottengo:

$100+104A-104A^2=$
$=4(25+27A-27A^2)$

E adesso?
Come faccio ad usare quel $\Delta$ per cercare le soluzioni del numeratore e studiarne il segno?

[pilloeffe]

Ciao lil_lakes,

Occhio che c'è un errore già nel primo passaggio, a denominatore ci deve essere $(x^2-10x+27)x^2 $
Siccome poi $(x^2-10x+27)x^2 $ è sempre positivo, l'unica possibilità è che il numeratore sia $\le 0 $

[lil_lakes]

Si, scusami. Non mettere il quadrato è stato un errore di distrazione. Però il problema rimane. Come posso studiare il segno del numeratore e di conseguenza i valori di A che soddisfano l'equazione se il $\Delta$ è quello?

[pilloeffe]

"lil_lakes":se il $\Delta $ è quello?

Eh, ma non è quello, è il seguente:

$\Delta := b^2 - 4ac = (10A)^2 - 4(1 - A)\cdot (-27A) = 100A^2 + 108A(1 - A) = $
$ = 100A^2 + 108A - 108A^2 = 108A - 8A^2 = 4A(27 - 2A) $

[lil_lakes]

Ah grazie, quel giorno dovevo essere proprio fuso.
Allora, ragionando a mente più fresca, a meno di altri errori madornali, le soluzione sono:

$(-10A\pmsqrt(4A(27-2A)))/(2(1-A))=$
$=(2(-5A)\pm2sqrt(2A(27-2A)))/(2(1-A))=$
$=((-5A)\pmsqrt(A(27-2A)))/((1-A))$

Dato che queste sono le radici dell'equazione devo fare in modo che i valori di A le rendano vere, quindi calcolo le condizioni di esistenza:

$A>0$ per ipotesi
$1-A!=0 \rArr A!=1$ per denominatore diverso da 0
$A(27-2A)>=0$ dato che A>0 per ipotesi, allora si riduce a $(27-2A)>=0 \rArr A<= 27/2$

Quindi la soluzione è:
affinchè l'equazione sia vera, $A in (0,1)uu(1,27/2]$

Il ragionamento è giusto?

PS: ho notato però una cosa: se il mio ragionamento è giusto, andando a sostituire 1 ad A nell'equazione si ottiene al numeratore il polinomio di primo grado 10x-27 che ha come soluzione della disequazione $x<=27/10$

[pilloeffe]

Occhio perché vedo altri errori, in particolare mi risulta:

$x_{1, 2} = (-5A \pm \sqrt(A(27-2A)))/(1-A) $

Poi attenzione che la domanda era la seguente:

"lil_lakes":Stabilire se esiste qualche valore $A>0 $ tale che, per ogni $x \ne 0 $

Quindi non interessa sapere quali sono i valori di $x$, ma si cerca se esiste un valore di $A $ tale che il trinomio a numeratore sia $\le 0 $ a prescindere dai valori di $x$, e ciò accade se $\Delta < 0 $ ed il coefficiente di $x^2 $ cioè $(1 - A) < 0 $

[lil_lakes]

Ho capito, perchè nel caso di coefficiente di grado massimo negativo e $\Delta$ negativo, il polinomio di secondo grado risulta $<=0 AA x in RR$.

Quindi devo calcolare per quali valori di $A$ risulta $\Delta < 0$ e trovare le intersezioni delle soluzioni con gli intervalli che verificano $A>1$.

$A(27-2A)<=0$

quindi

$A>=0$ per $A>=0$
$27-2A>=0$ per $A<=27/2$
allora
$A(27-2A)<=0$ per $AA A in (-\infty,0]uu[27/2,+\infty)$
interseco con gli intervalli che verificano A>1

$((-\infty,0]uu[27/2,+\infty))nn(1,+\infty)$

nel caso in cui il coefficiente di grado massimo si annulli, quindi A=1, il polinomio diventa di primo grado e l'equazione è verificata

la richiesta è verificata per $AA A in [1]uu[27/2,+\infty)$

è corretto?

[pilloeffe]

"lil_lakes":è corretto?

No, non ancora...

$\Delta = A(27 - 2A) <= 0 $

Dato che per ipotesi $A > 0 $, l'unica possibilità è che sia $27 - 2A <= 0 \implies A \ge 27/2 $
D'altronde affinché il coefficiente di $x^2$, cioè $(1 - A) $, risulti negativo deve essere $ A > 1 $; ne consegue che entrambe le condizioni sono soddisfatte per $A \ge 27/2 $