Disequazione con esponenziali

[alexalex94]

Per quali x è vera la seguente uguaglianza?

2^x + 4^x < 5^x

Mi sono bloccata, non mi riesce andare avanti! Qualche aiuto su come si risolve?

[gio73]

io procederei per tentativi e direi che $1

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[alexalex94]

Purtroppo il prof ha detto che farlo per tentativi non 'vale'
io avevo iniziato considetando: \(\displaystyle (2^n)(1+2^n) < 5^n \) e poi portarlo in log quindi
\(\displaystyle n + log_2(1+2^n) < log_2(5^n) \) e mi blocco qui

[totissimus]

Le funzioni esponenziali \(\displaystyle \left(\frac{2}{5}\right)^{x}\) e \(\displaystyle \left(\frac{4}{5}\right)^{x}\) sono decrescenti, quindi anche la funzione \(\displaystyle f(x)= \left(\frac{2}{5}\right)^{x}+ \left(\frac{4}{5}\right)^{x}\) è decrescente.
Risulta \(\frac{4}{5}=f(2)<1 Siccome \( f(x)\) è decrescente abbiamo:

\(\displaystyle f(x)<1 \Leftrightarrow x>\alpha\)

\(\displaystyle\left(\frac{2}{5}\right)^{x}+ \left(\frac{4}{5}\right)^{x}<1\Leftrightarrow x>\alpha\)

\(\displaystyle 2^x+4^x<5^x \) per \( x>\alpha\)

Il calcolo di \( \alpha \) si può fare numericamente.