Disequazione con Complessi

[Flamber]

quello che mi chiedevo è se fosse possibilile usare il metodo grafico per le disequazioni con i numeri complessi, ma non sono arrivato ad una conclusione.

$|z|
$sqrt(x^2+y^2)
Ho pensato di disegnare la retta $y=x+5$ e di vedere quando questa sta sopra al grafico di $y=|z|=sqrt(x^2+y^2)$

come potrei fare altrimenti?

[Flamber]

La prima soluzione alla quale sono arrivato, e che penso sia la più corretta, è il sempiano destro delimitato dalla parabola

$x=1/10y^2-5/2$

[ciampax]

La disequazione che hai scritto si può mettere nella forma seguente

$\sqrt{x^2+y^2}
Per prima cosa, osserva che a sinistra hai un valore sempre positivo, per cui a destra, affinché il tutto abbia senso, dovrai imporre che $x+5>0$ e quindi $x> -5$. Una volta fatto questo puoi elevare a quadrato ambo i membri trovando

$x^2+y^21/{10}(y^2-25)$.

La curva $x=1/{10}(y^2-25)$ è una parabola con vertice nel punto $V(-5/2,0)$, avente asse di simmetria coincidente con l'asse delle $x$ e passante per i punti $(0,\pm 5)$. La condizione $x>...$ impone di prendere la porzione di piano esterna alla curva.

Infine la soluzione è data (graficamente) prendendo la porzione di piano esterna alla curva a destra della retta $x=-5$ (retta verticale).

Spero sia chiaro.

[zerolucat]

secondo me è più facile ragionare scrivendo $z$ nella sua forma polare $z=r e^{i \theta}$ . in questo modo si ottiene la diseguaglianza

$r < 5/{1-cos \theta} = 5/{1+ cos( \theta - \pi)}$

essendo $r(\theta) = 5/{1+ cos( \theta - \pi)}$ l'equazione di una parabola in forma radiale, con concavità rivolta a destra , vertice in $(-5/2 , 0)$ e passante per $(0, \pm 5) $ , la disequazione sarà soddisfatta da tutti i punti all'interno della parabola
ciao

[ciampax]

@zerolucat: sì, ma lo devi sapere che quella è una equazione di una parabola....