Disequazione con arcsen
Salve a tutti; svolgendo le disequazioni mi è capitata questa qua:
$arcsen ((|x^2-1|)/(sqrt(x^4-x^2+1)))<=\pi/6$; guardando il grafico della funzione arcsen; sono giunto alla conclusione che questa è soddisfatta quando:
$-1<=(|x^2-1|)/(sqrt(x^4-x^2+1))<=1/2$
E quindi considerando anche la condizione del campo di esistenza della radice ottengo il sistema:
$\{((|x^2-1|)/(sqrt(x^4-x^2+1))>=-1),((|x^2-1)/(sqrt(x^4-x^2+1))<=1/2),(x^4-x^2+1>0):}$.
La mia domanda è per trovare le soluzioni delle prime 2 disequazioni; posso moltiplicare primo e secondo membro per $sqrt(x^4-x^2+1)$; in maniera tale da ottenere il sistema:
$\{(|x^2-1|>=-sqrt(x^4-x^2+1)),(|x^2-1<=(sqrt(x^4-x^2+1)/2)),(x^4-x^2+1>0):}$
Oppure vi è qualche metodo per svolgere meno calcoli possibili?Perchè praticamente devo fare l'esame di analisi 1 corso ingegneria però prima di affrontare il compito devo svolgere un precompito con 3 disequazioni; e devo svolgerle senza nemmeno un errore per poter poi fare il compito di anlisi vero e proprio.Ovviamente il tutto senza aiuto di formulari.quindi devo riuscire a fare meno calcoli possibili.Così facendo posso evitare di fare errori; quindi acceto qualsiasi consiglio per semplificare i calcoli.
$arcsen ((|x^2-1|)/(sqrt(x^4-x^2+1)))<=\pi/6$; guardando il grafico della funzione arcsen; sono giunto alla conclusione che questa è soddisfatta quando:
$-1<=(|x^2-1|)/(sqrt(x^4-x^2+1))<=1/2$
E quindi considerando anche la condizione del campo di esistenza della radice ottengo il sistema:
$\{((|x^2-1|)/(sqrt(x^4-x^2+1))>=-1),((|x^2-1)/(sqrt(x^4-x^2+1))<=1/2),(x^4-x^2+1>0):}$.
La mia domanda è per trovare le soluzioni delle prime 2 disequazioni; posso moltiplicare primo e secondo membro per $sqrt(x^4-x^2+1)$; in maniera tale da ottenere il sistema:
$\{(|x^2-1|>=-sqrt(x^4-x^2+1)),(|x^2-1<=(sqrt(x^4-x^2+1)/2)),(x^4-x^2+1>0):}$
Oppure vi è qualche metodo per svolgere meno calcoli possibili?Perchè praticamente devo fare l'esame di analisi 1 corso ingegneria però prima di affrontare il compito devo svolgere un precompito con 3 disequazioni; e devo svolgerle senza nemmeno un errore per poter poi fare il compito di anlisi vero e proprio.Ovviamente il tutto senza aiuto di formulari.quindi devo riuscire a fare meno calcoli possibili.Così facendo posso evitare di fare errori; quindi acceto qualsiasi consiglio per semplificare i calcoli.
Risposte
puoi farlo, perché hai posto la radice >0, però la prima disequazione è sempre verificata (nel dominio della radice...), perché num e den sono non negativi e ti si chiede che la frazione sia >= -1 ...
Quindi la prima disequazione è sempre verificata in quanto il denominatore è positivo e il numeratore o è positivo o al massimo può essere 0.E quindi sempre e cmq maggiore di $-1$.Invece la seconda disequazione la devo svolgere per foza giusto?
sì
Allora io la seconda avevo pensato di risolverla così:
Faccio il m.c.m e ottengo:
$(2|x^2-1|-sqrt(x^4-x^2+1))/(2(sqrt(x^4-x^2+1)))<=0
Ma il denominatore è sempre maggiore di $0$; quindi le uniche soluzioni possibili sono quelle per cui risulta il $NUM <=0$ e quindi si ha $(2|x^2-1|-sqrt(x^4-x^2+1))<=0$.Giusto o sbaglio?
Faccio il m.c.m e ottengo:
$(2|x^2-1|-sqrt(x^4-x^2+1))/(2(sqrt(x^4-x^2+1)))<=0
Ma il denominatore è sempre maggiore di $0$; quindi le uniche soluzioni possibili sono quelle per cui risulta il $NUM <=0$ e quindi si ha $(2|x^2-1|-sqrt(x^4-x^2+1))<=0$.Giusto o sbaglio?
va bene.
Per risolvere la disequazione:
$sqrt(x^4-x^2+1)>=2|x^2-1|$
Allora impostando i sistemi per risolvere la radice ottengo:
$\{(x^4-x^2+1>=0),(2|x^2-1|<=0):}$
questo prima sistema come soluzione ha $x=-1 e x=1$ in quanto la prima disequazione è sempre verificata.
Il secondo sistema invece è:
$\{(x^4-x^2+1>=(2(x^2-1))^2),(2|x^2-1|>=0):}$
Ora la seconda è sempre verificata.Invece la prima svolgendo i calcoli ottengo $3x^4-7x^2+3<=0$
Che è una disequazione biquadratica.
$sqrt(x^4-x^2+1)>=2|x^2-1|$
Allora impostando i sistemi per risolvere la radice ottengo:
$\{(x^4-x^2+1>=0),(2|x^2-1|<=0):}$
questo prima sistema come soluzione ha $x=-1 e x=1$ in quanto la prima disequazione è sempre verificata.
Il secondo sistema invece è:
$\{(x^4-x^2+1>=(2(x^2-1))^2),(2|x^2-1|>=0):}$
Ora la seconda è sempre verificata.Invece la prima svolgendo i calcoli ottengo $3x^4-7x^2+3<=0$
Che è una disequazione biquadratica.
ma dai, è un modulo, non può essere negativo. basta elevare al quadrato. comunque il risultato è giusto.
Quindi praticamente essendo un modulo e quindi necessariamente maggiore o uguale a 0.Il primo sistema nn c'è bisogno di farlo? e posso elevare direttamente al quadrato sia primo che secondo membro.
va risolto il sistema:
${[sqrt(x^4-x^2+1)>=2|x^2-1|],[x^4-x^2+1>0] :}$
ma nella prima disequazione i segni di entrambi i membri sono positivi, e il radicando anche è sempre positivo ($Delta<0$).
dunque il tutto si riduce a risolvere la disequazione ottenuta elevando al quadrato entrambi i membri. mi pare che l'avevi trovata,
perché ricordo che era uguale a quella ricavata da me: $3x^4-7x^2+3<=0$
le soluzioni si possono esprimere anche utilizzando la formula dei radicali doppi. la conosci?
${[sqrt(x^4-x^2+1)>=2|x^2-1|],[x^4-x^2+1>0] :}$
ma nella prima disequazione i segni di entrambi i membri sono positivi, e il radicando anche è sempre positivo ($Delta<0$).
dunque il tutto si riduce a risolvere la disequazione ottenuta elevando al quadrato entrambi i membri. mi pare che l'avevi trovata,
perché ricordo che era uguale a quella ricavata da me: $3x^4-7x^2+3<=0$
le soluzioni si possono esprimere anche utilizzando la formula dei radicali doppi. la conosci?
Si si ho già risolto tutto; ora dopo posto il risultato.E' solo che mi piace capire e discutere le cose; nn mi accontento solo di risolverle.Ma ascolta facendo in questo modo le soluzioni del primo sistema $x=1$ e $x=-1$ nn le perdo giusto?Cmq scusa se sn una rottura.
se $x=+-1$ hai $arcsin 0 =0
non ti preoccupare, bisogna insistere, anche se con calma e pazienza, altrimenti non si ottiene nulla.
non ti preoccupare, bisogna insistere, anche se con calma e pazienza, altrimenti non si ottiene nulla.
Ok allora ho risolto tutto dopo tanti calcoli; il risultato che ho trovatoè:
$-sqrt(39)/6-sqrt(3)/6<=x<=sqrt(3)/6-sqrt(39)/6$ e $sqrt(39)/6-sqrt(3)/6<=x<=sqrt(39)/6+sqrt(3)/6$.Mamma mia ke calcoli.
La cosa brutta è che durante il compito nn posso usare la calcolatrice. 
$-sqrt(39)/6-sqrt(3)/6<=x<=sqrt(3)/6-sqrt(39)/6$ e $sqrt(39)/6-sqrt(3)/6<=x<=sqrt(39)/6+sqrt(3)/6$.Mamma mia ke calcoli.
La cosa brutta è che durante il compito nn posso usare la calcolatrice.
confermo. così hai anche razionalizzato, pur tenendoti i due termini entrambi multipli di $sqrt3$.
la calcolatrie non è che ti aiuti molto ... in fondo dovevi fare 49-36=13, e poi 49-13=36. il resto era semplice...
la calcolatrie non è che ti aiuti molto ... in fondo dovevi fare 49-36=13, e poi 49-13=36. il resto era semplice...
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