Disequazione con arcotangente e arcoseno
Ciao ragazzi, mi aiutereste a risolvere questa disequazione? Più che altro qual'è l'approccio migliore?
$ 2arctan(x)-arcsin(2x)<=0 $
Grazie in anticipo.
$ 2arctan(x)-arcsin(2x)<=0 $
Grazie in anticipo.
Risposte
Benvenuto 
la disequazione $2arctan(x)-arcsin(2x)leq0$ ha senso solo se $-1/2leqxleq1/2$
condizione data dal dominio di $arcsin(2x)$
quella disequazione è equivalente a $2arctan(x)leqarcsin(2x)$
allora.. procedere per via analitica si potrebbe, ma sarebbe macchinoso. Siccome conosciamo bene i grafici delle due funzioni, sappiamo che l'arcotangente è dilatata in verticale e l'arcoseno è dimezzato in orizzontale.
Pensa(disegna) l'arcoseno è definito così: $f:[-1/2,1/2] -> [-pi/2,pi/2]$
poi sai che a $x=0$ sono uguali e che in $x=1$ ... $2arctan(1)=pi/2$
Ora ci interessa sapere come l'arcotangente arriva a $pi/2$
allora passo a confrontare le derivate e derivo ambo i membri della disequazione:
$2/(1+x^2)leq2/sqrt(1-x^2)$
$sqrt(1-x^2)leq(1+x^2)$ entrambi i membri sono strettamente positivi.
$1-x^2leq1+2x^2+x^4 => x^4+3x^2geq0 => x^2(3+x^2)geq0$
la disequazione è vera $forallx inRR$ a maggior ragione sul nostro intervallo.
Inoltre in $x=0$ hanno la stessa pendenza ovvero $1$
Dunque partono con la stessa pendenza e l'arcoseno cresce(sempre) più rapidamente dell'arcotangente quindi certamente è vero che:
$2arctan(x)-arcsin(2x)leq0, forallx in[0,1/2]$
ora le funzioni sono tutte e due dispari, quindi per $x in[-1/2,0)$ la disequazione non è verificata.
la disequazione $2arctan(x)-arcsin(2x)leq0$ ha senso solo se $-1/2leqxleq1/2$
condizione data dal dominio di $arcsin(2x)$
quella disequazione è equivalente a $2arctan(x)leqarcsin(2x)$
allora.. procedere per via analitica si potrebbe, ma sarebbe macchinoso. Siccome conosciamo bene i grafici delle due funzioni, sappiamo che l'arcotangente è dilatata in verticale e l'arcoseno è dimezzato in orizzontale.
Pensa(disegna) l'arcoseno è definito così: $f:[-1/2,1/2] -> [-pi/2,pi/2]$
poi sai che a $x=0$ sono uguali e che in $x=1$ ... $2arctan(1)=pi/2$
Ora ci interessa sapere come l'arcotangente arriva a $pi/2$
allora passo a confrontare le derivate e derivo ambo i membri della disequazione:
$2/(1+x^2)leq2/sqrt(1-x^2)$
$sqrt(1-x^2)leq(1+x^2)$ entrambi i membri sono strettamente positivi.
$1-x^2leq1+2x^2+x^4 => x^4+3x^2geq0 => x^2(3+x^2)geq0$
la disequazione è vera $forallx inRR$ a maggior ragione sul nostro intervallo.
Inoltre in $x=0$ hanno la stessa pendenza ovvero $1$
Dunque partono con la stessa pendenza e l'arcoseno cresce(sempre) più rapidamente dell'arcotangente quindi certamente è vero che:
$2arctan(x)-arcsin(2x)leq0, forallx in[0,1/2]$
ora le funzioni sono tutte e due dispari, quindi per $x in[-1/2,0)$ la disequazione non è verificata.
Ciao, grazie per la risposta. Seguendo il tuo ragionamento con i grafici davanti credo di aver capito, il fatto però è che l'esercizio si trova in una sezione precedente alle derivate quindi in teoria non prevede il loro utilizzo.
Analiticamente avevo provato ad utilizzare qualche sostituzione (ad esempio del arcsin(2x) come 2sin di radice ecc.) però effettivamente mi sembravano delle strade troppo articolate.
Analiticamente avevo provato ad utilizzare qualche sostituzione (ad esempio del arcsin(2x) come 2sin di radice ecc.) però effettivamente mi sembravano delle strade troppo articolate.
E allora vorrà dire che procederemo per via puramente analitica.
la disequazione posso scriverla come: $arctan(x)leqarcsin(2x)/2$
ora applichiamo la funzione $tan(x)$ a entrambi i membri.
$tan(arctan(x))=x, forallx in[-1/2,1/2]$ (considero solo il nostro intervallo)
dunque otteniamo $xleqtan(arcsin(2x)/2)$
ora quì applichiamo formule di bisezione della tangente
${(xleqsqrt((1-cos(arcsin(2x)))/(1+cos(arcsin(2x))))if arcsin(2x)geq0),(xleq-sqrt((1-cos(arcsin(2x)))/(1+cos(arcsin(2x))))if arcsin(2x)<0):}$
considero il caso $arcsin(2x)geq0<=>xgeq0$
ora $-pi/2
$xleqsqrt((1-sqrt(1-sin^2(arcsin(2x))))/(1+sqrt(1-sin^2(arcsin(2x))))$
Ora $(sin(arcsin(2x)))^2=(2x)^2, forallx in[0,1/2]$
la disequazione si riduce nel dover dimostrare che è vera:
$xleqsqrt((1-sqrt(1-4x^2))/(1+sqrt(1-4x^2))), x in[0,1/2]$
naturalmente l'altro caso è analogo.
la disequazione posso scriverla come: $arctan(x)leqarcsin(2x)/2$
ora applichiamo la funzione $tan(x)$ a entrambi i membri.
$tan(arctan(x))=x, forallx in[-1/2,1/2]$ (considero solo il nostro intervallo)
dunque otteniamo $xleqtan(arcsin(2x)/2)$
ora quì applichiamo formule di bisezione della tangente
${(xleqsqrt((1-cos(arcsin(2x)))/(1+cos(arcsin(2x))))if arcsin(2x)geq0),(xleq-sqrt((1-cos(arcsin(2x)))/(1+cos(arcsin(2x))))if arcsin(2x)<0):}$
considero il caso $arcsin(2x)geq0<=>xgeq0$
ora $-pi/2
$xleqsqrt((1-sqrt(1-sin^2(arcsin(2x))))/(1+sqrt(1-sin^2(arcsin(2x))))$
Ora $(sin(arcsin(2x)))^2=(2x)^2, forallx in[0,1/2]$
la disequazione si riduce nel dover dimostrare che è vera:
$xleqsqrt((1-sqrt(1-4x^2))/(1+sqrt(1-4x^2))), x in[0,1/2]$
naturalmente l'altro caso è analogo.
Ok come pensavo era abbastanza articolato. Ci ho messo un po' 
ma devo dire che sei stato molto preciso e ho capito i vari passaggi, grazie mille.
ma devo dire che sei stato molto preciso e ho capito i vari passaggi, grazie mille.
Figurati 
ho dato per scontato che sapessi destreggiarti con la composizione di funzioni. In caso avessi dubbi, dimmi pure
ho dato per scontato che sapessi destreggiarti con la composizione di funzioni. In caso avessi dubbi, dimmi pure
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo