Disequazione Abbastanza complicata
Raga pottreste aiutarmi a capire come risolvere questa disequazione:
$ln^2(1+|t|)-t>0$; ho provato a studiarla come una funzione così da poter capire dove risulta >0.Ma nn ci sn riuscito.
$ln^2(1+|t|)-t>0$; ho provato a studiarla come una funzione così da poter capire dove risulta >0.Ma nn ci sn riuscito.
Risposte
"identikit_man":
Raga pottreste aiutarmi a capire come risolvere questa disequazione:
$ln^2(1+|t|)-t>0$; ho provato a studiarla come una funzione così da poter capire dove risulta >0.Ma nn ci sn riuscito.
Questa disequazione se non vado errato non è possibile studiarla con i metodi classici.Per studiarla bisogna disegnare su un grafico le due funzioni ovvero $ln^2(1+|t|)$ e $t$ e poi vedere dove l'una è maggiore
Si, infatti. Ti risulterebbe che $ln^2(1+|t|)-t>0$ se e soltanto se $ln^2(1+|t|)>t$
A questo punto disegni sullo stesso grafico le due funzioni. Il risultato da te cercato, l'intervallo in cui la differenza di queste due funzioni è maggiore di zero, lo troverai cercando i punti in cui il logaritmo è maggiore di t...quindi è giusto un lavoro di disegno
A questo punto disegni sullo stesso grafico le due funzioni. Il risultato da te cercato, l'intervallo in cui la differenza di queste due funzioni è maggiore di zero, lo troverai cercando i punti in cui il logaritmo è maggiore di t...quindi è giusto un lavoro di disegno
Un altro metodo è il seguente:
X $t<0$ vedere Sergio
Per $t=0$ le due funzioni sono uguali.
La derivata di $f(t)=t$ è $1$.
La derivata di $g(t)=ln^2(1+t)$ è $(2*ln(1+t))/(1+t)$ che è minore di $1$ per ogni $t$...
X $t<0$ vedere Sergio
Per $t=0$ le due funzioni sono uguali.
La derivata di $f(t)=t$ è $1$.
La derivata di $g(t)=ln^2(1+t)$ è $(2*ln(1+t))/(1+t)$ che è minore di $1$ per ogni $t$...
Grazie a qualche vostro suggerimento io ho provato a risolvere così; considero la funzione $G(x)=ln^2(1-t)-t$ e la studio:
Il dominio è tutto $R$ studio la derivata prima;
per $t>=0$ $G(x)'=2ln(1+t)/(1+t)-1$ e risulta essere $G(x)'>0$ se e solo se $2ln(1+t)/(1+t)>1$ e questa condizione nn è mai verificata quindi funzione decrescente.Studio la derivata per $t<0$ e otengo
$G(x)'-2ln(1-t)/(1-t)-1>0$$hArr$$2ln(1+t)/(1-t)+1<0$ ma questa condizione nn è mai verificata in quanto nei 2 addendi il numeratore è$>0$ per $t<0$ e lo stesso vale per il denominatore.Quindi la funzione $G(x)$ è sempre decrescente.E quindi disegnando il grafico ottengo che $G(x)>0 hArr t<0$.Corregetemi se sbaglio...
Il dominio è tutto $R$ studio la derivata prima;
per $t>=0$ $G(x)'=2ln(1+t)/(1+t)-1$ e risulta essere $G(x)'>0$ se e solo se $2ln(1+t)/(1+t)>1$ e questa condizione nn è mai verificata quindi funzione decrescente.Studio la derivata per $t<0$ e otengo
$G(x)'-2ln(1-t)/(1-t)-1>0$$hArr$$2ln(1+t)/(1-t)+1<0$ ma questa condizione nn è mai verificata in quanto nei 2 addendi il numeratore è$>0$ per $t<0$ e lo stesso vale per il denominatore.Quindi la funzione $G(x)$ è sempre decrescente.E quindi disegnando il grafico ottengo che $G(x)>0 hArr t<0$.Corregetemi se sbaglio...
E quindi quale sarebbe la strada giusta?
"vict85":
Un altro metodo è il seguente:
X $t<0$ vedere Sergio
Per $t=0$ le due funzioni sono uguali.
La derivata di $f(t)=t$ è $1$.
La derivata di $g(t)=ln^2(1+t)$ è $(2*ln(1+t))/(1+t)$ che è minore di $1$ per ogni $t$...
si, pure io l'ho fatta così, certo però che è un metodo corretto ma un po' "a posteriori", nel senso che è facile e va bene se però sai già dove vuoi arrivare...
(io l'ho fatto vedendo il disegno..)
"Sergio":
[quote="vict85"]La derivata di $g(t)=ln^2(1+t)$ è $(2*ln(1+t))/(1+t)$ che è minore di $1$ per ogni $t$...
Un dubbio: questo vuol dire che $(ln(1+t))/(1+t)$ è minore di $1/2$, ma... come si fa a dirlo?[/quote]
Qui siamo in $(0,+oo)$
Se si studia la derivata di $f(t)=2*ln(1+t)-1-t$ ristretta a $(0,+oo)$ si vede che ha il massimo in $2$ e il valore è negativo. Per cui $AAt in(0,+oo), (2*ln(1+t))/(1+t)<1$
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