Disequazione a due variabili

[DaniTB1]

ciao a tutti,
Oggi rivenendo qualche vecchio esercizio di analisi mi sono inbatutto in questo che non riesco prorpio a risolvere,si tratta di una disequazione con moduli e con due variabili,il testo è il seguente:

Si dimostri che per ogni x,y appartenente [0;1]

$ |xe^-x - ye^-y| <= |x-y| $


Non ho proprio idee,penso che più che analiticamente vada risolta tramite teoremi,ma premesso che non sono assolutamente mai stato un genio in matematica, stavolta non so proprio come muovermi.

Grazie in anticipo per l'aiuto....

[Paolo902]

Potresti provare ad applicare il teorema di Lagrange alla funzione $x \mapsto xe^-x$...

P.S. Quella non è una disequazione, ma una disuguaglianza, perché è verificata per tutti i valori delle "incognite" (che non sono incognite, ma variabili).

[DaniTB1]

Grazie Paolo,ma a costo di sembrar scemo ti dirò che non riesco proprio a capire in che modo applicare il teorema del valor medio

[Quinzio]

Io lo risolverei così...

senza perdere di generalità supponiamo che $x>y$.

Ci poniamo quindi su una restrizione $x-y=x_0="cost."$, cioè su una retta parallela alla bisettrice del I°Q.

Il problema diventa

$|(x_0+k)e^(-(x_0+k))-ke^(-k)|
Sicuramente questa nuova disequazione è verificata per $k=0$.

Se dimostro che la derivata in $k$ della funzione a sinistra è sempre negativa, la disequazione è verificata $\forall k>0 $.

La derivata di

$(x_0+k)e^(-(x_0+k))-ke^(-k)$

è quindi:

$(1-x_0-k)e^(-(x_0+k))-(1-k)e^(-k)<(1-x_0-k)e^(-k)-(1-k)e^(-k)=-x_0e^(-k)<0$

verificando quindi che $(1-x_0-k)e^(-(x_0+k))-(1-k)e^(-k)<0$


Non garantisco l'assenza di errori di ogni tipo .
Fatemeli notare, please.

[DaniTB1]

mmm non sono sicuro di essere in grado di dirti se c'è qualcosa di sbagliato....ma quello che non riesco a capire è:
dopo che hai posto la condizione,da dove sbuca quel -ek^(-k)? nella nuova disuaguaglianzae(e non disequazione come ci ha fatto notare paolo)....In ogni caso grazie quizio,ma se qualcuno che ha altre idee mi farebbe un piacere,perchè sono sicuro che c'è un modo più semplice,generale e diretto per risolvere questo esercizio....

[Paolo902]

"DaniTB":
Si dimostri che per ogni x,y appartenente [0;1]
$ |xe^-x - ye^-y| <= |x-y| $

Considera la mappa \( f \colon [0,1] \ni x \mapsto xe^{-x} \). Un conto mostra che \( f^{\prime}(x) = e^{-x} - xe^{-x}= e^{-x}(x-1) \). In particolare, si vede che \( \vert f^{\prime}(x) \vert \le 1 \) per ogni $x \in [0,1]$ (lascio a te i dettagli); sicché per il teorema di Lagrange si ha che per ogni $x,y \in [0,1]$, con $x>y$, esiste $\xi$ tale che
\[
\frac{f(x)-f(y)}{x-y} = f^{\prime}(\xi).
\]
Ora prendi i valori assoluti, togli il denominatore e usa la stima sulla derivata prima che abbiamo ricavato prima; quindi deducine la tesi.

P.S. In linguaggio tecnico, hai appena fatto vedere che la funzione $f$ è 1-lipschitziana.

[DaniTB1]

Bene grazie,in qualche modo ho afferato il metodo,mi hai dato una grande mano....quindi ad esempio posso usare sempre Lagrange per risovlere quest'altro esercizio della stessa tipologia che ho trovato su un altro compito?

$ |x-y| <= |tgx - tgy| <= 2|x-y| $

In questo caso devo applicarlo alla funzione x->tgx?