Disequazione
Buongiorno a tutti.
Mi vergogno un pochino ma mi trovo in difficoltà nel calcolare una disequazione:
$e^y \> -1/(3-y)$
Non riesco a ragionarci, o meglio non so se i ragionamenti hanno senso..
Anche facendo il logaritmo arrivo ad avere:
$y \> -\log (1/(3-y))$
(Mi viene anche il dubbio che il $\-$ a destra non si possa tenere fuori e di conseguenza non sono sicuro che abbia senso il passaggio.)
Sono molto arrugginito su queste cose quindi.. Vi chiederei se potete ragionarci con i passaggi a farmi riprendere...
Vi ringrazio molto
Mi vergogno un pochino ma mi trovo in difficoltà nel calcolare una disequazione:
$e^y \> -1/(3-y)$
Non riesco a ragionarci, o meglio non so se i ragionamenti hanno senso..
Anche facendo il logaritmo arrivo ad avere:
$y \> -\log (1/(3-y))$
(Mi viene anche il dubbio che il $\-$ a destra non si possa tenere fuori e di conseguenza non sono sicuro che abbia senso il passaggio.)
Sono molto arrugginito su queste cose quindi.. Vi chiederei se potete ragionarci con i passaggi a farmi riprendere...
Vi ringrazio molto
Risposte
ti ricordo una proprietà
$alogb = log(b^a)$
e comunque è giusto quello che hai fatto:
$e^(lna)=a$
$alogb = log(b^a)$
e comunque è giusto quello che hai fatto:
$e^(lna)=a$
$ y \> -log(3-y) $ ? 
"Gando89":
$ y \> -log(3-y) $ ?
ok, però una volta che porti la costante moltiplicativa sull'argomento la costante sparisce..
Ok... quindi positivo?
$ y \> log(3-y)$
Il dubbio di partenza era proprio il $\-$, cioè se era giusto fare $-log$ od era sbagliato perchè sarebbe stato $log(- roba)$
$ y \> log(3-y)$
Il dubbio di partenza era proprio il $\-$, cioè se era giusto fare $-log$ od era sbagliato perchè sarebbe stato $log(- roba)$
"Gando89":
Ok... quindi positivo?
$ y \> log(3-y)$
Il dubbio di partenza era proprio il $\-$, cioè se era giusto fare $-log$ od era sbagliato perchè sarebbe stato $log(- roba)$
Si, in effetti , diventa $e^y> e^(log(-1/(3-y)))$
Ciao,
solo per farti notare che se ti dava "fastidio" il segno $-$, potevi scrivere:
$-1/(3-y) = 1/(y-3)$
solo per farti notare che se ti dava "fastidio" il segno $-$, potevi scrivere:
$-1/(3-y) = 1/(y-3)$
Ciao Ziben
Si guarda ci sono arrivato ora con i passaggi di Anacleto...
Appunto ero dubbioso sul segno (l'ho messo fuori dal log senza pensarci ma era ovvio andasse dentro)
Effettivamente basta invertire..
Come complicarsi la vita...
Grazie guys..
Si guarda ci sono arrivato ora con i passaggi di Anacleto...
Appunto ero dubbioso sul segno (l'ho messo fuori dal log senza pensarci ma era ovvio andasse dentro)
Effettivamente basta invertire..
Come complicarsi la vita...
Grazie guys..
Ciao Gando89,
La disequazione che hai proposto è risolvibile per via numerica o grafica. Facciamo uso del metodo grafico, con la $x$ al posto della $y$ unicamente per comodità:
$e^x > -1/(3-x)$
cioè
$e^x > 1/(x - 3)$
Facendo un disegno un po' accurato, si tratta di vedere dove la ben nota funzione esponenziale $y = e^x$ sta sopra la funzione omografica $y = frac{1}{x - 3}$, il che accade per $x < 3$ e per $x > x_1$, dove [tex]x_1 \simeq 3[/tex] ma leggermente superiore. Se vuoi disporre di un valore più preciso, ci viene in aiuto WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5Ex+%3E+1%2F(x+-+3)
La disequazione che hai proposto è risolvibile per via numerica o grafica. Facciamo uso del metodo grafico, con la $x$ al posto della $y$ unicamente per comodità:
$e^x > -1/(3-x)$
cioè
$e^x > 1/(x - 3)$
Facendo un disegno un po' accurato, si tratta di vedere dove la ben nota funzione esponenziale $y = e^x$ sta sopra la funzione omografica $y = frac{1}{x - 3}$, il che accade per $x < 3$ e per $x > x_1$, dove [tex]x_1 \simeq 3[/tex] ma leggermente superiore. Se vuoi disporre di un valore più preciso, ci viene in aiuto WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5Ex+%3E+1%2F(x+-+3)
Ciao Piloeffe.
Ti ringrazio molto.
La disequazione era l'ultimo passaggio dello studio di una differenziale, stavo appunto vedendo la concavità della funzione e mi serviva appunto questo valore ma in modo approssimativo (spero... Prof permettendo XD).
Vi ringrazio molto. A volte ci si perde in un bicchiere d'acqua...
Ti ringrazio molto.
La disequazione era l'ultimo passaggio dello studio di una differenziale, stavo appunto vedendo la concavità della funzione e mi serviva appunto questo valore ma in modo approssimativo (spero... Prof permettendo XD).
Vi ringrazio molto. A volte ci si perde in un bicchiere d'acqua...
Come hai fatto è sbagliato.
Il modo corretto di procedere è
$ e^y > -1/(3-y) \Leftrightarrow e^y > 1/(y-3) \Leftrightarrow y> \log (1/(y-3)) \Leftrightarrow y > -\log (y-3)$
Ora però non abbiamo risolto nulla perché non sappiamo risolvere lo stesso questa disequazione
Riscriviamo così la disuguaglianza
$y+\log (y-3)>0$
Sia $f(y)=y+\log (y-3)$. Il dominio di questa funzione è $D=(3,+oo)$
Mi calcolo i limiti agli estremi
$\lim_{y \to +\infty}f(y)=+oo$
$\lim_{y \to 3}f(y)=3-oo=-oo$
Chiaramente esiste qualche zero (la funzione è continua)
Facendo la derivata si ha $f'(y)=1+1/(y-3)$
Studio ora la crescenza di $f(y)$
$f'(y)>0 \Leftrightarrow 1+1/(y-3)>0 \Leftrightarrow (y-2)/(y-3)>0 \Leftrightarrow x<2 \vee x>3$
Questo vuol dire che la funzione è sempre crescente ma allora se va da $-oo$ a $+oo$ sempre crescendo esiste un unico punto $\xi\in\mathbb{R}$ tale che $f(\xi)=0$ e quindi la tua disuguaglianza, che era essenzialmente $f(y)>0$ è vera per $y>\xi$
(vedi nota [nota]Chiaramente sarà un valore molto vicino a $3$. Provando con $3.1=31/10$ si ha
$f(31/10)=31/10+\log(31/10-3)=31/10+\log(1/10)=31/10-\log(10)\approx 0.79$
Quindi è un valore compreso tra $3$ e $3.1$[/nota])
Il valore di $\xi$ bisogna trovarlo approssimativamente attraverso algoritmi come ad esempio il metodo di newton o bisezione. Tutto il discorso si poteva evitare e andare più a tentativi/intuito però questo sarebbe il modo più preciso ed analitico di procedere (credo) xD
Il modo corretto di procedere è
$ e^y > -1/(3-y) \Leftrightarrow e^y > 1/(y-3) \Leftrightarrow y> \log (1/(y-3)) \Leftrightarrow y > -\log (y-3)$
Ora però non abbiamo risolto nulla perché non sappiamo risolvere lo stesso questa disequazione
Riscriviamo così la disuguaglianza
$y+\log (y-3)>0$
Sia $f(y)=y+\log (y-3)$. Il dominio di questa funzione è $D=(3,+oo)$
Mi calcolo i limiti agli estremi
$\lim_{y \to +\infty}f(y)=+oo$
$\lim_{y \to 3}f(y)=3-oo=-oo$
Chiaramente esiste qualche zero (la funzione è continua)
Facendo la derivata si ha $f'(y)=1+1/(y-3)$
Studio ora la crescenza di $f(y)$
$f'(y)>0 \Leftrightarrow 1+1/(y-3)>0 \Leftrightarrow (y-2)/(y-3)>0 \Leftrightarrow x<2 \vee x>3$
Questo vuol dire che la funzione è sempre crescente ma allora se va da $-oo$ a $+oo$ sempre crescendo esiste un unico punto $\xi\in\mathbb{R}$ tale che $f(\xi)=0$ e quindi la tua disuguaglianza, che era essenzialmente $f(y)>0$ è vera per $y>\xi$
(vedi nota [nota]Chiaramente sarà un valore molto vicino a $3$. Provando con $3.1=31/10$ si ha
$f(31/10)=31/10+\log(31/10-3)=31/10+\log(1/10)=31/10-\log(10)\approx 0.79$
Quindi è un valore compreso tra $3$ e $3.1$[/nota])
Il valore di $\xi$ bisogna trovarlo approssimativamente attraverso algoritmi come ad esempio il metodo di newton o bisezione. Tutto il discorso si poteva evitare e andare più a tentativi/intuito però questo sarebbe il modo più preciso ed analitico di procedere (credo) xD
Ciao Freebulls
Wow.. grazie per questa spiegazione dettagliata... Allora non era così scontato..
Ve bene un'idea di come risolverlo me la sono fatta a questo punto.
Ringrazio tutti per il contributo!
Wow.. grazie per questa spiegazione dettagliata... Allora non era così scontato..
Ve bene un'idea di come risolverlo me la sono fatta a questo punto.
Ringrazio tutti per il contributo!
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