Diseguaglianza tipo bernulli da dimostrare.

[Kashaman]

Ci è stato proposto qualche giorno fa questo esercizio :
Sia $0 dimostrare che $1-na<(1-a)^n<1/(1+na)$

Sto letteralmente impazzendo .
Ho iniziato così,
Dimostrare che $1-na<(1-a)^n$ è facile , infatti poiché $ain RR => -a in RR$ e quindi per Bernulli si ha che
$(1-a)^n=(1+(-a))^n>1+n(-a)=1-na => 1-na<(1-a)^n$ senza troppi preamboli.
La diseguaglianza stretta vale perché per ipotesi $n!=0$.
Non riesco a mostrare che $(1-a)^n<1/(1+na)$ , ragazzi piccolissimo hint?
Grazie mille..

[theras]

Induzione,direi:
a quello che dovrebbe esser il tuo "stato dell'arte" nel programma d'Analisi I,
non vedo metodi dimostrativi di maggiore intuibilità!
Saluti dal web.

[Kashaman]

ci provo.
Voglio provare che
$(1-a)^n<1/(1+na)$ con $n>=2 ^^ 0 Per $n=2$ ho che
$1-2a+a^2<1-2a<1+2a<1/(1+2a)$ , la tesi è dunque vera. Tali eguaglianze valgono perché $a$ sta in $0 Supponiamo vera la tesi per $P_n$ e dimostro per $P_(n+1)$
ho che
$(1-a)^(n+1)=(1-a)^n(1-a)<1/(1+na)*(1-a)= (1-a)/(1+na) < 1/(1+na)$ , l'ultima eguaglianza ho maggiorato. Da cui la tesi. Che dici può andare?

[Gi81]

Non credo che possa andare:
la tesi è $(1-a)^(n+1) < 1/(1+(n+1)a)$, mentre tu hai dimostrato che $(1-a)^(n+1) < 1/(1+na)$

[Gi81]

Un'alternativa all'induzione (che non ho provato):

Sia \( \displaystyle 0Poniamo \(\displaystyle x:= 1-a \)

Dobbiamo dimostrare che \(\displaystyle x^n <\frac{1}{1+n(1-x)} \), con \(\displaystyle x \in (0,1) \) e \(\displaystyle n \) naturale maggiore di \(\displaystyle 1 \).

Ciò è equivalente a \(\displaystyle \frac{x^n \left[ 1+n(1-x)\right] -1}{1+n(1-x)}<0 \).
Ora, il denominatore è sempre positivo, quindi bisogna dimostrare che
la funzione \(\displaystyle f(x)= x^n \biggl[ 1+n(1-x)\biggr] -1 \) è negativa per ogni \(\displaystyle x \in (0,1) \).
Facendo un rapido studio di funzione...

[Kashaman]

forse posso aggiustare così. (siamo all'inizio del corso , lo studio di funzione lo faremo più in la.., quindi questo è un esercizio per farci le ossa sull'induzione)
Mi basta provare che $(1-a)/(1+na) < 1/(1+(n+1)a)$
il che equivale a dire che devo mostrare che $(1-a)/(1+na) - 1/(1+(n+1)a)<0$. Al numeratore ottengo un $-a^2$ quindi quella disuguaglianza risulta essere vera, infatti se
$a>0 => a^2>0 => -a^2<0$ e inoltre il denominatore è positivo e quindi vale quella disuguaglianza.
che ne dici?

[Gi81]

Dico che è tutto corretto, tranne il fatto che a numeratore rimane $-(n+1)a^2$ invece di $-a^2$(ma non cambia nulla).

Noto solo ora che hai commesso un errore anche nel caso base:

"Kashaman":Per $n=2$ ho che
$1-2a+a^2<1-2a<1+2a<1/(1+2a)$ , la tesi è dunque vera.
Tali eguaglianze valgono perché $a$ sta in $0
Non è vero che $1+2a < 1/(1+2a)$ se $a in (0,1)$ (controesempio: $a= 1/3$).

Forse pensavi a questo: $a < 1/a$.

Ripartiamo da qui: $1+a^2-2a< 1/(1+2a)$. Fai denominatore comune


PS: scusa se ho impostato la risoluzione sullo studio di funzione...
Non avevo afferrato il fatto che fosse obbligatoria la dimostrazione per induzione.

[Kashaman]

ci riprovo. Voglio mostrare che $(1-a)^2 < 1/(1+na)$ con $n>=2 ^^ 0 Rifaccio il caso base.
Voglio provare che $1-2a+a^2<1/(1+2a)$ ma ciò è vero infatti
$((1+2a)(1-2a+a^2)-1)/(1+2a) <0 => (1-2a+a^2+2a-4a^2+2a^3)/(1+2a)<0 => (a^2(-3+2a))/(1+2a)<0$ (1)
ma ciò è vero per ogni a , infatti $a^2$ è sempre positivo qualunque sia $a$ , e se $0 0<2a<2$ e dunque $-3+2a<0$ qualsiasi sia $a$. Inoltre $1+2a>0$ e quindi $(1)<0$ qualsiasi sia $a$. Pertanto (1) è vera per ogni $a$, e la base dell'induzione risulta essere provata.

[Gi81]

Sì, direi che va tutto bene