Diseguaglianza: log√n<√n

[kingworld]

Buonasera a tutti, avrei una domandina temo stupida: potreste dimostrarmi che log(√n)<√n, logaritmo in base a, a>1?
Graficamente e intuitivamente è chiaro, ma non riesco a dimostrarlo...
Grazie mille!

(se la radice non fosse visibile, la disuguaglianza è log(sqrt(n))

Cita

Segnala

---

Risposte

Gi81

27 dic 2012, 17:40

Ma $n$ è un generico numero naturale o un generico numero reale?

Cita

Segnala

---

kingworld

27 dic 2012, 17:41

Giusto, scusate, n>2, naturale. Anche se a occhio direi che valga anche per i reali, con le opportune limitazioni...

Cita

Segnala

---

Seneca1

27 dic 2012, 17:45

Basta dimostrare $log(x) < x$ , $\forall x \in RR$.

$g(x)= x - 1$ è la retta tangente al grafico del logaritmo nel punto $(1,0)$. Poiché $log(x)$ è una funzione concava, $log(x) \le x -1$ , $\forall x \in RR$ e dunque
\[ \log(x) < x \;\;\;\;\; \forall x \in \mathbb{R} \]

Cita

Segnala

---

Gi81

27 dic 2012, 17:46

Sì, in effetti cambia poco. Puoi fare così:
dimostra che la funzione $f(x)= x-log_a (x)$ (definita per $x in (0,+oo)$) è sempre positiva, poi hai finito.

Infatti, se poni $m=sqrtn$ (ovviamente hai $m>0$ se $n>2$)
si tratta di dimostrare che $log_a (m) 0$

edit:anticipato da Seneca

Cita

Segnala

---

kingworld

27 dic 2012, 18:03

Grazie ad entrambi!
Ci sarebbe solo un piccolo problema... comprendo "a pelle" cosa sia una funzione concava, ma teoricamente non dovremmo saper usare derivate e simili, e immagino che "funzione concava" significhi che la derivata seconda è sempre negativa, vero?
Ci sarebbero altri metodi, più "algebrici", per dimostrarlo?
Scusatemi, non mi diverto a fare fin da subito la figura del noob rompiscatole >.<

Cita

Segnala

---

Sk_Anonymous

27 dic 2012, 18:09

Si potrebbe anche considerare la funzione :
\(\displaystyle y=lnx-x \) estesa ai valori reali di x maggiori di 2.
Derivando rispetto ad x risulta :
\(\displaystyle y'=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}<0 \) per \(\displaystyle x>2 \)
Pertanto y è sempre decrescente in \(\displaystyle ]2,+\infty[ \)
Ora è :
\(\displaystyle y(2)=ln2-2<0 \) e dunque per la decrescenza si ha :
\(\displaystyle lnx-x2 \)
Pertanto risulta \(\displaystyle lnx2
C.V.D.

Cita

Segnala

---

kingworld

8 gen 2013, 18:37

Ok, grazie mille a tutti!

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[Gi81]

Ma $n$ è un generico numero naturale o un generico numero reale?

[kingworld]

Giusto, scusate, n>2, naturale. Anche se a occhio direi che valga anche per i reali, con le opportune limitazioni...

[Seneca1]

Basta dimostrare $log(x) < x$ , $\forall x \in RR$.

$g(x)= x - 1$ è la retta tangente al grafico del logaritmo nel punto $(1,0)$. Poiché $log(x)$ è una funzione concava, $log(x) \le x -1$ , $\forall x \in RR$ e dunque
\[ \log(x) < x \;\;\;\;\; \forall x \in \mathbb{R} \]

[Gi81]

Sì, in effetti cambia poco. Puoi fare così:
dimostra che la funzione $f(x)= x-log_a (x)$ (definita per $x in (0,+oo)$) è sempre positiva, poi hai finito.

Infatti, se poni $m=sqrtn$ (ovviamente hai $m>0$ se $n>2$)
si tratta di dimostrare che $log_a (m) 0$

edit:anticipato da Seneca

[kingworld]

Grazie ad entrambi!
Ci sarebbe solo un piccolo problema... comprendo "a pelle" cosa sia una funzione concava, ma teoricamente non dovremmo saper usare derivate e simili, e immagino che "funzione concava" significhi che la derivata seconda è sempre negativa, vero?
Ci sarebbero altri metodi, più "algebrici", per dimostrarlo?
Scusatemi, non mi diverto a fare fin da subito la figura del noob rompiscatole >.<

[Sk_Anonymous]

Si potrebbe anche considerare la funzione :
\(\displaystyle y=lnx-x \) estesa ai valori reali di x maggiori di 2.
Derivando rispetto ad x risulta :
\(\displaystyle y'=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}<0 \) per \(\displaystyle x>2 \)
Pertanto y è sempre decrescente in \(\displaystyle ]2,+\infty[ \)
Ora è :
\(\displaystyle y(2)=ln2-2<0 \) e dunque per la decrescenza si ha :
\(\displaystyle lnx-x2 \)
Pertanto risulta \(\displaystyle lnx2
C.V.D.

[kingworld]

Ok, grazie mille a tutti!