Diseguaglianza
Dimostrare la seguente diseguaglianza:
e^y - e^x $<=$ (e^y)(y-x) $AA$ x,y $in$R con x
Come si fà?
e^y - e^x $<=$ (e^y)(y-x) $AA$ x,y $in$R con x
Come si fà?
Risposte
Se $x,y in RR$ la disequazione è falsa, quindi $x,y in ZZ$, suppongo.
Per $x>=y$ è chiaramente vera. Quindi consideriamo la disequazione solo per $y>x$. Basta osservare che $e^y<=e^(y(y-x)$ è vera se $y>x$, e questo implica la disequazione iniziale.
Per $x>=y$ è chiaramente vera. Quindi consideriamo la disequazione solo per $y>x$. Basta osservare che $e^y<=e^(y(y-x)$ è vera se $y>x$, e questo implica la disequazione iniziale.
Il secondo membro e' "(e^y)(y-x)" oppure "e^(y(y-x))" ?
ok!
Ci ha risposto Crook ! hehe....
Ci ha risposto Crook ! hehe....
scusate nn sono stato preciso, ho corretto il post
non so se e' corretto:
$e^y - e^x <= e^y(y-x)$
$e^y - e^y(y-x) <= e^x$
$e^y(x-y+1) <= e^x$
$(x-y+1) <= e^x/e^y$
$(x-y+1) <= e^x-y$
$log(x-y+1) <= x-y$
se $x
$log(x-y+1) < 0$
cioe'
$(x-y+1) < 1$
da cui $x
quindi vera
$e^y - e^x <= e^y(y-x)$
$e^y - e^y(y-x) <= e^x$
$e^y(x-y+1) <= e^x$
$(x-y+1) <= e^x/e^y$
$(x-y+1) <= e^x-y$
$log(x-y+1) <= x-y$
se $x
$log(x-y+1) < 0$
cioe'
$(x-y+1) < 1$
da cui $x
quindi vera
si! credo di aver scritto una fesseria....
Io ho fatto così:
$e^y-e^x<=e^y(y-x) => 1-e^(x-y)<=y-x$. Ponendo $y-x=a$, si ha $1-e^(-a)<=a$, con $a>0$. Moltiplicando tutto per $e^a$, diventa $e^a<=ae^a+1$, che per $a>0$ è chiaramente sempre vera.
$e^y-e^x<=e^y(y-x) => 1-e^(x-y)<=y-x$. Ponendo $y-x=a$, si ha $1-e^(-a)<=a$, con $a>0$. Moltiplicando tutto per $e^a$, diventa $e^a<=ae^a+1$, che per $a>0$ è chiaramente sempre vera.
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