Disegnare un solido
Allora ho un esercizio che dice "Sia V il solido definito da $ -9<= z<= -x^2-y^2 $ ". Poi mi chiede di fare 3 cose, di cui in una non so proprio come procedere. Ovvero "Punto a) Disegnare il solido V ( in modo approssimativo). Rappresentare V come solido di rotazione"
Qualcuno mi saprebbe spiegare come fare? Per favore
Qualcuno mi saprebbe spiegare come fare? Per favore
Risposte
Innanzitutto, hai capito com'è fatto l'insieme $V$?
Che ci sta dentro?
Da cosa è delimitato?
Che ci sta dentro?
Da cosa è delimitato?
Guarda, io mi sto esercitando, ma come questo non ne ho mai trovato, anche perchè in altri esercizi simili, mi da almeno un insieme di definizione, in questo no. Quindi, passando la funzione a $ z= -x^2 -y^2 $ mi viene fuori un solido di volume infinito... Ci sto perdendo la testa, anche perchè poi nel punto b) mi chiede di calcolare il volume del solido in questione
Però aspetta, ora che l'ho scritto cosi, e me lo vedo chiaramente davanti (e non in mezzo ad un quaderno di appunti disordinatissimo), riconosco l'equazione di una circonferenza, quindi. Che sia il solido V un cono?
Innanzitutto, affinché ci sia qualche numero reale $z$ compreso tra le quantità $-9$ e $-x^2-y^2$ è necessario e sufficiente che sussista la disuguaglianza \(-9\leq -x^2-y^2\).
Questa vale se e solo se \(x^2+y^2\leq 9\), il che ti dice che la proiezione del tuo solido $V$ sul piano $Oxyz$ è il cerchio di centro $O$ e raggio $3$.
Ora, da cosa è delimitato il tuo solido?
Questa vale se e solo se \(x^2+y^2\leq 9\), il che ti dice che la proiezione del tuo solido $V$ sul piano $Oxyz$ è il cerchio di centro $O$ e raggio $3$.
Ora, da cosa è delimitato il tuo solido?
"gugo82":
Innanzitutto, affinché ci sia qualche numero reale $z$ compreso tra le quantità $-9$ e $-x^2-y^2$ è necessario e sufficiente che sussista la disuguaglianza \(-9\leq -x^2-y^2\).
Questa vale se e solo se \(x^2+y^2\leq 9\), il che ti dice che la proiezione del tuo solido $V$ sul piano $Oxyz$ è il cerchio di centro $O$ e raggio $3$.
Ora, da cosa è delimitato il tuo solido?
A questo punto mi viene da pensare che il solido è delimitato dalla disuguaglianza $ -9\leq z $ quindi dal piano passante per il punto $ z=-9 $ . A questo punto mi viene dato un insieme di definizione, quindi z può prendere solo valori dall'insieme [-9,0]. Infatti $ z ≤ −x^2−y^2 = - (x^2 + y^2) $ ossia z non può prendere valori maggiori di zero dato che il secondo membro è sempre negativo. Detto questo considero una "serie" di curve, variando la z. E ne deduco che -> per z in [-9, 0] si ha in ogni caso $ x^2 + y^2 + z = 0 $ che è sempre una circonferenza. Quindi il solido V è un solido fatto di circonferenze di raggio via via crescente in z è un semplice cono, con vertice in (0, 0, 0).
Quindi i punti sono tutti i punti interni e sulla superficie del cono di equazione $ z = - x^2 - y^2 $ a partire dall'origine sino al piano $ z = -9 $
Giusto?
Ma anche no, perché il raggio delle circonferenze non decresce linearmente con $z$... Quindi non hai possibilità di beccare un cono.
E allora come è? D: Non riesco più a capirci nulla <.<
Abbiamo visto che la proiezione di $V$ su $Oxy$ è il cerchio $D$, con centro in $O$ e raggio $3$, individuato dalla limitazione $x^2+y^2\leq 9$.
Chiamate $f(x,y):=-(x^2+y^2)$ e $g(x,y):=-9$, il tuo solido $V$ è individuato dalle limitazioni:
\[
\begin{cases}
x^2+y^2\leq 9\\
g(x,y)\leq z\leq f(x,y)
\end{cases}
\]
sicché è la regione di spazio delimitata dai grafici di $f$ e di $g$ "sopra" il cerchio $D$.
Il grafico di $g$ è il piano parallelo ad $Oxy$ alla quota $-9$, mentre il grafico di $f$ è un paraboloide circolare concavo con vertice nell'origine $O$.
Ne viene che il tuo solido $V$ è la porzione interna al paraboloide compresa tra il vertice e il piano $z=-9$.
Chiamate $f(x,y):=-(x^2+y^2)$ e $g(x,y):=-9$, il tuo solido $V$ è individuato dalle limitazioni:
\[
\begin{cases}
x^2+y^2\leq 9\\
g(x,y)\leq z\leq f(x,y)
\end{cases}
\]
sicché è la regione di spazio delimitata dai grafici di $f$ e di $g$ "sopra" il cerchio $D$.
Il grafico di $g$ è il piano parallelo ad $Oxy$ alla quota $-9$, mentre il grafico di $f$ è un paraboloide circolare concavo con vertice nell'origine $O$.
Ne viene che il tuo solido $V$ è la porzione interna al paraboloide compresa tra il vertice e il piano $z=-9$.
Ahn ecco dove sbagliavo! Perfetto, grazie mille 
Allora, vorrei una mano riguardo al volume di un paraboloide di equazione $ −9<= z<= −x^2−y^2 $ .
Con un mio collega (con cui sto preparando analisi 2), siamo arrivati ad un assurda soluzione. Siccome nessuno dei due sapeva come fare, nella pratica, questo esercizio. Ci siamo andati per ragionamento, quasi sicuramente sbagliato. Abbiamo visto che il solido in sezione ci mostra una parabola di equazione $ -x^2 = 0 $ e che la sezione perpendicolare alla precedente, è uguale, con equazione $ -y^2 = 0 $ Quindi è un paraboloide "regolare". L'equazione del solido, che ho scritto all'inizio del topic, ci fornisce l'informazione: $ -9<=z $ quindi il solido si trova tutto sopra il piano $ z = -9 $ . Quindi il solido in esercizio è equivalente al solido ottenuto dall'a curva $ y = -x^2 +9 $ e facendola ruotare attorno all'asse $ Y $ . O meglio, il solido è lo stesso! Non è solo equivalente. Quindi per calcolare il suo volume, abbiamo usato la formula $ 2pi int_(0)^(3) -x^2+9 dx $ usando come estremi di integrazione 0-3 perchè il diametro della circonferenza alla base del paraboloide è 6 e va da $x=-3$ a $x=3$. Quindi il raggio da $x=0$ a $x=3$ . Ora vorremo sapere se questo assurdo ragionamento potrebbe andare bene per un compito di analisi 2, o comunque, una spiegazione su come calcolare questo caro volume
[xdom="gugo82"]Inglobo in questo thread aperto ieri dallo stesso OP.[/xdom]
Con un mio collega (con cui sto preparando analisi 2), siamo arrivati ad un assurda soluzione. Siccome nessuno dei due sapeva come fare, nella pratica, questo esercizio. Ci siamo andati per ragionamento, quasi sicuramente sbagliato. Abbiamo visto che il solido in sezione ci mostra una parabola di equazione $ -x^2 = 0 $ e che la sezione perpendicolare alla precedente, è uguale, con equazione $ -y^2 = 0 $ Quindi è un paraboloide "regolare". L'equazione del solido, che ho scritto all'inizio del topic, ci fornisce l'informazione: $ -9<=z $ quindi il solido si trova tutto sopra il piano $ z = -9 $ . Quindi il solido in esercizio è equivalente al solido ottenuto dall'a curva $ y = -x^2 +9 $ e facendola ruotare attorno all'asse $ Y $ . O meglio, il solido è lo stesso! Non è solo equivalente. Quindi per calcolare il suo volume, abbiamo usato la formula $ 2pi int_(0)^(3) -x^2+9 dx $ usando come estremi di integrazione 0-3 perchè il diametro della circonferenza alla base del paraboloide è 6 e va da $x=-3$ a $x=3$. Quindi il raggio da $x=0$ a $x=3$ . Ora vorremo sapere se questo assurdo ragionamento potrebbe andare bene per un compito di analisi 2, o comunque, una spiegazione su come calcolare questo caro volume
[xdom="gugo82"]Inglobo in questo thread aperto ieri dallo stesso OP.[/xdom]
Non ho capito come avete fatto ma il risultato non è IMHO completamente sbagliato: usando le coordinate cilindriche io trovo infatti
\[
2\pi \int_0^3 \rho \left(9-\rho^2\right)\, d\rho, \]
quindi direi che avete semplicemente dimenticato un fattore di \(\rho\) (che a me vien fuori dall'elemento di volume: \(dV=\rho\, d\rho\, d\theta\, dz.\)).
\[
2\pi \int_0^3 \rho \left(9-\rho^2\right)\, d\rho, \]
quindi direi che avete semplicemente dimenticato un fattore di \(\rho\) (che a me vien fuori dall'elemento di volume: \(dV=\rho\, d\rho\, d\theta\, dz.\)).
Non volevo parlare di due esercizi (in parte) diversi, nello stesso topic. Comunque, dissonance, non sono molto pratico con le coordinate cilindriche, in quanto le ho iniziate un'ora fa. In ogni caso, a me l'integrale risulta $ 36π $ mentre con le cordinate cilindriche $ 81π/2 $
Come detto il solido è costituito dai punti interni alla regione delimitata dal paraboloide circolare di equazione \(z=-(x^2+y^2)\) e dal piano di equazione \(z=-9\).
Ogni piano di equazione \(z=h\), con \(h\in [-9,0]\) seziona il solido in una circonferenza, chiamiamola \(V_h\), che ha raggio \(\sqrt{-h}\); perciò, integrando "per strati" abbiamo:
\[
\begin{split}
\operatorname{vol}(V) &= \int_{-9}^0 \operatorname{area} (V_h)\ \text{d} h \\
&= \int_{-9}^0 -\pi\ h\ \text{d} h \\
&= -\frac{\pi}{2}\ \left. h^2\right|_{-9}^0\\
&= \frac{81}{2}\pi\; .
\end{split}
\]
Analogamente, in coordinate cilindriche, il tuo solido è individuato dalle limitazioni:
\[
0\leq r\leq 3,\quad 0\leq \theta \leq 2\pi,\quad -9\leq h\leq -r^2
\]
sicché:
\[
\begin{split}
\operatorname{vol} (V) &= \int_0^3 \int_0^{2\pi} \left(\int_{-9}^{-r^2} r\ \text{d} h\right)\ \text{d} r\text{d} \theta\\
&= 2\pi\ \int_0^3 r(9-r^2)\ \text{d}r\\
&= -\frac{\pi}{2}\ \left. (9-r^2)^2\right|_0^3\\
&= \frac{81}{2}\pi\; ,
\end{split}
\]
come si voleva.
Ogni piano di equazione \(z=h\), con \(h\in [-9,0]\) seziona il solido in una circonferenza, chiamiamola \(V_h\), che ha raggio \(\sqrt{-h}\); perciò, integrando "per strati" abbiamo:
\[
\begin{split}
\operatorname{vol}(V) &= \int_{-9}^0 \operatorname{area} (V_h)\ \text{d} h \\
&= \int_{-9}^0 -\pi\ h\ \text{d} h \\
&= -\frac{\pi}{2}\ \left. h^2\right|_{-9}^0\\
&= \frac{81}{2}\pi\; .
\end{split}
\]
Analogamente, in coordinate cilindriche, il tuo solido è individuato dalle limitazioni:
\[
0\leq r\leq 3,\quad 0\leq \theta \leq 2\pi,\quad -9\leq h\leq -r^2
\]
sicché:
\[
\begin{split}
\operatorname{vol} (V) &= \int_0^3 \int_0^{2\pi} \left(\int_{-9}^{-r^2} r\ \text{d} h\right)\ \text{d} r\text{d} \theta\\
&= 2\pi\ \int_0^3 r(9-r^2)\ \text{d}r\\
&= -\frac{\pi}{2}\ \left. (9-r^2)^2\right|_0^3\\
&= \frac{81}{2}\pi\; ,
\end{split}
\]
come si voleva.
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