Disegnare su piano complesso.

[Escher1]

Ciao, devo calcolare un integrale curvilineo in campo complesso, il problema qui è che la curva è data da un dominio. Poi dovrò fare l'integrale curvilineo sul bordo del dominio.

L'integrale è: \(\displaystyle 12Im( \int_{\gamma} |z| (z + \frac{1}{z})) dz \)

\(\displaystyle D = Re(z) + Im(z) \ge 0; Im(z) \ge 0; |z| \leq 1 \)

Ho difficoltà a disegnare il dominio. Vi dico come ho pensato di fare:

Ho sostituito nel domio:

\(\displaystyle Re(z) = \frac{z+\bar{z}}{2} \)
\(\displaystyle Im(z) = \frac{z-\bar{z}}{2} \)
\(\displaystyle |z| = Re(z) + Im(z) \)

Dove \(\displaystyle z = x+iy \) e \(\displaystyle \bar{z} = x-iy \)

Facendo i calcoli trovo che \(\displaystyle D = x+iy \ge 0; iy \ge 0; x+iy \leq 1 \)

Ora però non riesco a disegnare questo nuovo dominio:

Per \(\displaystyle x+iy \ge 0 \) posso scrivere \(\displaystyle z \ge 0 \), quindi è corretto dire che è una retta passante per l'origine?
Per \(\displaystyle iy \ge 0 \) credo descriva il primo quadrante.
\(\displaystyle x+iy \leq 1 \) posso scrivere \(\displaystyle z \leq 1 \) quindi una retta passante per l'origne però verificata al di sotto della retta \(\displaystyle im(z) = 1 \).

Non sono, però, sicuro di aver capito bene, perchè così facendo viene un triangolino del quale non so definire tutti i vertici.

Grazie delle eventuali risposte.

[DavideGenova1]

"Escher":\(\displaystyle |z| = Re(z) + Im(z) \)

Attento: \(|z| = \sqrt{(\text{Re}z)^2 + (\text{Im}z)^2} \)

"Escher":Facendo i calcoli trovo che \(\displaystyle D = x+iy \ge 0; iy \ge 0; x+iy \leq 1 \)

$\mathbb{C}$ non è un campo ordinato in cui si possa definire una relazione $\leq$. Diciamo piuttosto che \( D =\{ x+iy\in\mathbb{C},x,y\in\mathbb{R}:y+x\geq 0 \land y \ge 0\land\sqrt{x^2+y^2} \leq 1 \} \), dove
$y+x\geq 0$ descrive il semipiano complesso che sta "sopra" la retta $y=-x$, retta inclusa;
$y\geq 0$ descrive il semipiano in cui la parte immaginaria è non negativa, cioè "quello di sopra", asse reale incluso;
\(|z|\leq 1\) descrive il cerchio unitario centrato nell'origine.
Quindi si tratta del settore circolare centrato in 0 di raggio unitario che sta nel secondo quadrante tra la semiretta immaginaria positiva e la semiretta \(e^{3\pi/4}t,t\in[0,+\infty)\), direi.
Ciao!

[Escher1]

Grazie mille della risposta, non avevo pensato che \(\displaystyle |z| \leq 1\) è la circonferenza centrata nell'origine di raggio unitario.

Grazie ancora!