Disegnare numeri complessi nel piano di gauss

[davide940]

$ ||z|-4| = |z - 4i| $
per risolvere ho sostituito $ z = x + iy $ risulta
$ ||x+iy|-4| = |x+i(y - 4)| $
ho calcolato i moduli
$ |sqrt(x^2 + y^2) -4| = sqrt(x^2 + (y-4)^2) $
$ sqrt( (sqrt(x^2 + y^2) -4 )^2 ) = sqrt(x^2 + y^2 -8y + 16) $
elevo al quadrato entrambi i membri
$ (sqrt(x^2 + y^2) -4 )^2 = x^2 + y^2 -8y + 16 $
$ x^2 + y^2- 8 sqrt(x^2 + y^2) +16 = x^2 + y^2 -8y + 16 $
semplifico e resta
$ sqrt(x^2 + y^2) = y $
elevo al quadrato
$ x^2 + y^2 = y^2 $
quindi
$ x = 0 $
ovvero le soluzioni sono tutti i numeri sull'asse immaginario. E' corretto?

[galessandroni]

Sicuramente sì.

Per verificarlo basta porre $ z = 0 + yi $ e si ottiene:

$||0 + yi| - 4 | = |0 + yi - 4i| $

ovvero:

$ | y - 4 | = | (y - 4)i | $

che soddisfa l'uguaglianza.

Però, lavorando con numeri complessi, nel tuo elevare al quadrato entrambi i membri potresti "perdere"alcune soluzioni.

Morale: tutti i numeri sull'asse immaginario sono soluzioni, ma non è detto che siano le uniche.