Disegnare nel piano di Gauss insiemi di numeri complessi
Ciao ragazzi ho un problema con un esercizio, mi si chiede di disegnare sul piano di gauss gli insiemi dei numeri complessi
$|z-1|>1$
Per prima cosa porrei $ z=x+iy $, fatto cio passerei alla definizione di modulo $ sqrt(x^2 + y^2) $ ottenendo:
$ sqrt((x-1)^2 + y^2)$, associando il -1 alla parte reale del membro di sinistra,
fatto ciò non riesco ad andare avanti, qualcuno mi darebbe una dritta!!!!
vi ringrazio anticipatamente.
$|z-1|>1$
Per prima cosa porrei $ z=x+iy $, fatto cio passerei alla definizione di modulo $ sqrt(x^2 + y^2) $ ottenendo:
$ sqrt((x-1)^2 + y^2)$, associando il -1 alla parte reale del membro di sinistra,
fatto ciò non riesco ad andare avanti, qualcuno mi darebbe una dritta!!!!
vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Pensa a cosa rappresenta il numero $|z-1|$: la risposta è tutta lì, non serve fare conti.
Sarò tarato ma proprio non riesco ad immaginarlo....
Allora prenditi due minuti e cercalo sul libro.
Dovrebbe stare sicuramente nelle prime pagine, dove si parla di interpretazione geometrica dei numeri complessi, o giù di lì.
Dovrebbe stare sicuramente nelle prime pagine, dove si parla di interpretazione geometrica dei numeri complessi, o giù di lì.
Mi immagino un cerchio di raggio 1 e tutti i numeri complessi che stanno al di fuori di questo cerchio corretto????
Quasi esatto.
Una disuguaglianza del tipo $|z|>r$ (con $z\in CC$ ed $r>0$) individua i punti esterni al cerchio di raggio $r$ e centro $0$.
Traslando il tutto in $z_0\in CC$, possiamo dire che una disuguaglianza del tipo $|z-z_0|>r$ individua tutti i punti esterni al cerchio di raggio $r$ e centro $z_0$
Nel tuo caso $r=1$, quindi hai indovinato il raggio del cerchio, ma il centro qual è?
Una disuguaglianza del tipo $|z|>r$ (con $z\in CC$ ed $r>0$) individua i punti esterni al cerchio di raggio $r$ e centro $0$.
Traslando il tutto in $z_0\in CC$, possiamo dire che una disuguaglianza del tipo $|z-z_0|>r$ individua tutti i punti esterni al cerchio di raggio $r$ e centro $z_0$
Nel tuo caso $r=1$, quindi hai indovinato il raggio del cerchio, ma il centro qual è?
Il centro è nel punto x=1 corretto???
E poi nell'eventualità che nell'esame mi chieda di disegnare mi limito a disegnare senza eseguire calcoli?????
E poi nell'eventualità che nell'esame mi chieda di disegnare mi limito a disegnare senza eseguire calcoli?????
Nel punto $z_0=1$ (non dimenticare che sei nel campo complesso).
La tua regione di piano è quella esterna al cerchio disegnato qui sotto:
[asvg]xmin=-2;xmax=4;ymin=-3;ymax=3;
axes("labels");
dot([1,0]);
circle([1,0],1);[/asvg]
Se vuoi vedere la faccenda anche in maniera analitica...
Posto $z=x+"i"y$, la relazione $|z-1|>1$ si può scrivere come $sqrt((x-1)^2+y^2)>1$; elevando al quadrato (cosa lecita, perchè ambo i membri della precedente sono $>=0$), trovi $(x-1)^2+y^2>1$.
L'equazione $(x-1)^2+y^2=1$ (come dovresti sapere dalle superiori o da Geometria I) rappresente la circonferenza $Gamma$ del piano $Oxy$ con centro in $(1,0)$ e raggio $1$; mentre le disuguaglianze $(x-1)^2+y^2>1$ e $(x-1)^2+y^2<1$ rappresentano, rispettivamente, i punti esterni ed i punti interni al cerchio racchiuso da $Gamma$.
Perciò l'insieme dei punti $z=x+"i"y$ aventi $|z-1|>1$ "coincide" (nel senso che può essere identificato) con la parte di piano esterna alla circonferenza $Gamma$.
La tua regione di piano è quella esterna al cerchio disegnato qui sotto:
[asvg]xmin=-2;xmax=4;ymin=-3;ymax=3;
axes("labels");
dot([1,0]);
circle([1,0],1);[/asvg]
Se vuoi vedere la faccenda anche in maniera analitica...
Posto $z=x+"i"y$, la relazione $|z-1|>1$ si può scrivere come $sqrt((x-1)^2+y^2)>1$; elevando al quadrato (cosa lecita, perchè ambo i membri della precedente sono $>=0$), trovi $(x-1)^2+y^2>1$.
L'equazione $(x-1)^2+y^2=1$ (come dovresti sapere dalle superiori o da Geometria I) rappresente la circonferenza $Gamma$ del piano $Oxy$ con centro in $(1,0)$ e raggio $1$; mentre le disuguaglianze $(x-1)^2+y^2>1$ e $(x-1)^2+y^2<1$ rappresentano, rispettivamente, i punti esterni ed i punti interni al cerchio racchiuso da $Gamma$.
Perciò l'insieme dei punti $z=x+"i"y$ aventi $|z-1|>1$ "coincide" (nel senso che può essere identificato) con la parte di piano esterna alla circonferenza $Gamma$.
Ti ringrazio tanto sei stato gentilissimo!!!!
ciao ancora io, voglio solo una conferma
$|z-2|<1$
graficamente è l'insieme dei numeri complessi contenuti nella circonferenza di raggio 1 e centro in z=4???
attendo conferme ringrazio anticipatamente!!
$|z-2|<1$
graficamente è l'insieme dei numeri complessi contenuti nella circonferenza di raggio 1 e centro in z=4???
attendo conferme ringrazio anticipatamente!!
Perchè $z=4 $ il centro ?? 
Il centro è il punto $(2,0) $.
Il centro è il punto $(2,0) $.
Ok, dovrei aver capito l'errore, ho un po di lacune in geometria analitica, specie sulle circonferenze 
....grazie
....grazie
ciao non vorrei essere assillante ma tra 2 giorni ho la prova di analisi, mi si chiede di scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi:
$3e^(1+ipi/4)$ e $2i(cos3+icos2)$
Qual'è il problema, nel primo appare all'esponente quell' 1+ che mi manda in confusione, mentre nel secondo compaiono 2 argomenti diversi come si procede in questi casi???? Attendo con ansia......
$3e^(1+ipi/4)$ e $2i(cos3+icos2)$
Qual'è il problema, nel primo appare all'esponente quell' 1+ che mi manda in confusione, mentre nel secondo compaiono 2 argomenti diversi
come si procede in questi casi???? Attendo con ansia......
il primo lo risolverei cosi
$3(1+cos( pi/4) + 1+isin (pi/4))$
Ma non mi pare in forma trigonometrica.....
$3(1+cos( pi/4) + 1+isin (pi/4))$
Ma non mi pare in forma trigonometrica.....
helppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
"bobinho":
ciao non vorrei essere assillante ma tra 2 giorni ho la prova di analisi, mi si chiede di scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi:
$3e^(1+ipi/4)$
[...] appare all'esponente quell' 1+ che mi manda in confusione [...]
Per le proprietà dell'esponenziale puoi scrivere:
$3"e"^(1+"i"pi/4)=3"e"*"e"^("i"pi/4)$
così dovrebbe garbarti di più, no?
"bobinho":
$2i(cos3+icos2)$
[...] compaiono 2 argomenti diversi
Semplicemente devi fare il prodotto e determinarne modulo ed argomento con le formule, poi usare modulo ed argomento per scrivere la forma trigonometrica... L'esercizio è un po' calcoloso (ti devi portare dietro dei valori un po' brutti, ma che ci vuoi fare... Mica escon fuori sempre numeri "belli"), però si fa con un po' di buona volontà.
Grazie per la delucidazione, per il primo esercizio svolgendo arrivo al risultato $9ei$ è corretto???
Se ricordassi cosa significa la rappresentazione esponenziale $r*"e"^("i"theta)$ ti renderesti conto da solo che quel risultato non può essere corretto.
Scrivi i passaggi, please.
Scrivi i passaggi, please.
$3e^(1+i(pi/2))=3e * 3e^(i(pi/2))=3e*3(cos(pi/2)+isin(pi/2))=3e*3(0+i)=9ei$
Dove sbaglio?? grazie in anticipo p.s. l'esercizio chiede di esprimerlo in forma algebrica...
Dove sbaglio?? grazie in anticipo p.s. l'esercizio chiede di esprimerlo in forma algebrica...
Scusa ma non c'era $pi/4$ all'esponente? 
"bobinho":
$3e^(1+ipi/4)$
Si ho sbagliato io!!! quindi è sbagliato??
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