Disegnare nel piano di Gauss insiemi di numeri complessi
Ciao ragazzi ho un problema con un esercizio, mi si chiede di disegnare sul piano di gauss gli insiemi dei numeri complessi
$|z-1|>1$
Per prima cosa porrei $ z=x+iy $, fatto cio passerei alla definizione di modulo $ sqrt(x^2 + y^2) $ ottenendo:
$ sqrt((x-1)^2 + y^2)$, associando il -1 alla parte reale del membro di sinistra,
fatto ciò non riesco ad andare avanti, qualcuno mi darebbe una dritta!!!!
vi ringrazio anticipatamente.
$|z-1|>1$
Per prima cosa porrei $ z=x+iy $, fatto cio passerei alla definizione di modulo $ sqrt(x^2 + y^2) $ ottenendo:
$ sqrt((x-1)^2 + y^2)$, associando il -1 alla parte reale del membro di sinistra,
fatto ciò non riesco ad andare avanti, qualcuno mi darebbe una dritta!!!!
vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Rifai i conti... 
E, visto che ti trovi, fai anche l'altro, così posti tutti i passaggi insieme.
E, visto che ti trovi, fai anche l'altro, così posti tutti i passaggi insieme.
$3e^(1+i(pi/4))=3e * e^(i(pi/4))=3e*(cos(pi/4)+isin(pi/4))=3e*((sqrt(2)/2)+i(sqrt(2)/2)=3e*((sqrt(2)/2))+i((sqrt(2)/2))$
Quasi, ti sei dimenticato un $3"e"$ all'ultimo membro ed una parentesi nel penultimo, ma sei arrivato alla soluzione: $(3sqrt(2))/2"e"+"i"(3sqrt(2))/2"e"$.
L'altro?
L'altro?
Quindi confermi la soluzione del primo? il secondo mi viene cosi
$3e^(1+i(pi/2))=3e * e^(i(pi/2))=3e*(cos(pi/2)+isin(pi/2))=3e*(0+i)=3ei$
$3e^(1+i(pi/2))=3e * e^(i(pi/2))=3e*(cos(pi/2)+isin(pi/2))=3e*(0+i)=3ei$
"Gugo82":Dove ho dimenticato??? a me sembra corretto!
Quasi, ti sei dimenticato un $3"e"$ all'ultimo membro ed una parentesi nel penultimo, ma sei arrivato alla soluzione: $(3sqrt(2))/2"e"+"i"(3sqrt(2))/2"e"$.
L'altro?
Buonasera a tutti, scusate se riaccendo questo vecchiiiiiissimo thread, ma il titolo mi sembrava adeguatissimo. Ho un esercizio in cui il testo dice di rappresentare nel piano di Gauss i seguenti insiemi:
$A:={z\in\mathbb{C}: \exists log(3i\bar{z}-3z)}$
$B:={z\in\mathbb{C}: Re(log(3i\bar{z}-3z))=0}$
Putroppo l'esercitatore ha completamente saltato questa categoria di esercizi e spulciando il web non trovo un esercizio sulla rappresentazione dei complessi che tratti un logaritmo, perciò improvviso un po' e vorrei sapere se l'idea è giusta.
Innanzitutto, sul primo non basta dire che il logaritmo complesso è definito ovunque (così a guardarlo, sembra proprio che mi chieda di rappresentare il campo di esistenza di quella cosa)? E sul secondo invece, è giusto pensare $ln(z)=ln|x|+iarg(z)$, e considerare la parte reale vuol dire solo $ln|z|$ e andare a verificare per quali valori si annulla?
$|3i\bar{z}-3z|=0 \rightarrow |ix+y-x-iy|=0 \rightarrow |(y-x)+i(x-y)|=0 \Leftrightarrow x=y$
$A:={z\in\mathbb{C}: \exists log(3i\bar{z}-3z)}$
$B:={z\in\mathbb{C}: Re(log(3i\bar{z}-3z))=0}$
Putroppo l'esercitatore ha completamente saltato questa categoria di esercizi e spulciando il web non trovo un esercizio sulla rappresentazione dei complessi che tratti un logaritmo, perciò improvviso un po' e vorrei sapere se l'idea è giusta.
Innanzitutto, sul primo non basta dire che il logaritmo complesso è definito ovunque (così a guardarlo, sembra proprio che mi chieda di rappresentare il campo di esistenza di quella cosa)? E sul secondo invece, è giusto pensare $ln(z)=ln|x|+iarg(z)$, e considerare la parte reale vuol dire solo $ln|z|$ e andare a verificare per quali valori si annulla?
$|3i\bar{z}-3z|=0 \rightarrow |ix+y-x-iy|=0 \rightarrow |(y-x)+i(x-y)|=0 \Leftrightarrow x=y$
Intanto ogni volta che vedi un logaritmo deve subito scattare nella testa di porre l'argomento diverso da zero (>0 per i reali). Deve essere una sorta di riflesso automatico. Quindi abbiamo risposto al primo.
Per il secondo, ok.
Per il secondo, ok.
Giusto! Diverso da 0! Che babbo che sono...ovviamente la "molla" delle condizioni sul logaritmo mi è scattata, però mi ha spaesato il fatto che siamo in campo complesso e non più reale, e giustamente ho pensato subito che ora il nostro bel ln(z) possa vivere senza condizioni ulteriori. Ovviamente l'esponenziale $z=e^w: w=lnz, z\in C$ non si può mai annullare. Almeno poi col secondo ci ho visto giusto. Grazie mille degli accorgimenti! Buonasera 
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