Disegnare il sostegno di una curva
Ciao a tutti,
mi trovo in difficoltà nel disegnare il sostegno della curva $ phi:[-pi,pi]->RR^3 $ definita da
$ phi(t)=(5+3t-3sint, 4-3cost) $.
Ho già fatto esercizi più semplici sul sostegno di una curva e la maggior parte delle volte me la cavavo ricavando t da una delle due equazioni e sostituendola nell'altra trovando x in funzione di y o viceversa, ma in questo caso direi che questo metodo non mi aiuta.
Ho trovato allora i punti di partenza e di arrivo:
$ phi(-pi)=(5-3pi, 7) $
$ phi(pi)=(5+3pi, 7) $.
Inoltre poichè $ 4-3cost>0 $ non ci sono intersezioni con l'asse x.
Il vettore tangente è
$ phi^{\prime}(t)=(3-3cost, 3sint) $,
mentre il versore tangente, in tutti i punti con $ t!= 0 $, è
$ tau(t)=1/sqrt 2((1-cost)/sqrt(1-sint), sin /sqrt(1-cost)) $.
Inoltre
$ lim_(t -> 0^-)tau(t)=1/sqrt2 (0,-sqrt2)=(0,-1) $
$ lim_(t -> 0^+)tau(t)=1/sqrt2 (0,sqrt2)=(0,1) $
perciò nel punto $ phi(0)=(5,1) $ la curva arriva dall'alto con tangente verticale e riparte verso l'alto con tangente verticale, quindi dovrei avere una cuspide.
Ora come proseguo? Devo disegnare intuitivamente il grafico solo a partire da queste informazioni?
Ci sono altri modi più furbi per esercizi come questo?
mi trovo in difficoltà nel disegnare il sostegno della curva $ phi:[-pi,pi]->RR^3 $ definita da
$ phi(t)=(5+3t-3sint, 4-3cost) $.
Ho già fatto esercizi più semplici sul sostegno di una curva e la maggior parte delle volte me la cavavo ricavando t da una delle due equazioni e sostituendola nell'altra trovando x in funzione di y o viceversa, ma in questo caso direi che questo metodo non mi aiuta.
Ho trovato allora i punti di partenza e di arrivo:
$ phi(-pi)=(5-3pi, 7) $
$ phi(pi)=(5+3pi, 7) $.
Inoltre poichè $ 4-3cost>0 $ non ci sono intersezioni con l'asse x.
Il vettore tangente è
$ phi^{\prime}(t)=(3-3cost, 3sint) $,
mentre il versore tangente, in tutti i punti con $ t!= 0 $, è
$ tau(t)=1/sqrt 2((1-cost)/sqrt(1-sint), sin /sqrt(1-cost)) $.
Inoltre
$ lim_(t -> 0^-)tau(t)=1/sqrt2 (0,-sqrt2)=(0,-1) $
$ lim_(t -> 0^+)tau(t)=1/sqrt2 (0,sqrt2)=(0,1) $
perciò nel punto $ phi(0)=(5,1) $ la curva arriva dall'alto con tangente verticale e riparte verso l'alto con tangente verticale, quindi dovrei avere una cuspide.
Ora come proseguo? Devo disegnare intuitivamente il grafico solo a partire da queste informazioni?
Ci sono altri modi più furbi per esercizi come questo?
Risposte
Ciao sofisofi,
C'è qualche errore nel tuo post:
$\phi:[−π,π]→ \RR^2 $
A me risulta il seguente:
$ tau(t)=1/(sqrt 2)((1-cost)/sqrt(1-cost), (sin t)/sqrt(1-cost)) $
Questa conclusione invece è corretta, puoi dare un'occhiata ad esempio qui:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%285%2B3t-3sint%2C+4-3cost%29
Attenzione però perché $5 > \pi $ e $\phi:[−\pi,\pi]→ \RR^2 $
C'è qualche errore nel tuo post:
"sofisofi":
[...] il sostegno della curva $\phi:[−π,π]→ \RR^3 $ definita da $\phi(t)=(5+3t−3sint,4−3cost) $
$\phi:[−π,π]→ \RR^2 $
"sofisofi":
mentre il versore tangente, in tutti i punti con $t≠0$, è
$ tau(t)=1/sqrt 2((1-cost)/sqrt(1-sint), sin /sqrt(1-cost)) $
A me risulta il seguente:
$ tau(t)=1/(sqrt 2)((1-cost)/sqrt(1-cost), (sin t)/sqrt(1-cost)) $
"sofisofi":
perciò nel punto $\phi(0)=(5,1) $ la curva arriva dall'alto con tangente verticale e riparte verso l'alto con tangente verticale, quindi dovrei avere una cuspide.
Questa conclusione invece è corretta, puoi dare un'occhiata ad esempio qui:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%285%2B3t-3sint%2C+4-3cost%29
Attenzione però perché $5 > \pi $ e $\phi:[−\pi,\pi]→ \RR^2 $
Sì, è stato un errore di distrazione mentre scrivevo, grazie di avermelo fatto notare!
Quindi non c'è altro che posso fare, a questo punto disegno intuitivamente giusto?
E poi sì, io avrei disegnato tutta la curva e poi avrei preso solo la parte $ [-pi, pi]$
Quindi non c'è altro che posso fare, a questo punto disegno intuitivamente giusto?
E poi sì, io avrei disegnato tutta la curva e poi avrei preso solo la parte $ [-pi, pi]$
@sofisofi
Io procederei così:
1) noterei che per $t=-t$ la componente Y resta identica
2) spezzerei il vettore in $(5,4)+3[(t,0)-(sin(t),cos(t))]$ e mi concentrerei su $(t,0)-(sin(t),cos(t))$
Mettendo insieme 1) e 2) diventa chiaro che la curva $(t,0)-(sin(t),cos(t))$ è simmetrica rispetto all'asse Y.
La si può disegnare sommando i vettori (rovesciati) della circonferenza con il vettore (t,0) per $t=0,pi/2,pi$ e il resto arriva per la simmetria di cui sopra.
Infine si prende il risultato, si magnifica la curva moltiplicando le scale di entrambi gli assi per 3 e si traslano i tre vettori ottenuti prima sommandoci il vettore (5,4).
https://www.desmos.com/calculator/w4wzhcwfuh
Io procederei così:
1) noterei che per $t=-t$ la componente Y resta identica
2) spezzerei il vettore in $(5,4)+3[(t,0)-(sin(t),cos(t))]$ e mi concentrerei su $(t,0)-(sin(t),cos(t))$
Mettendo insieme 1) e 2) diventa chiaro che la curva $(t,0)-(sin(t),cos(t))$ è simmetrica rispetto all'asse Y.
La si può disegnare sommando i vettori (rovesciati) della circonferenza con il vettore (t,0) per $t=0,pi/2,pi$ e il resto arriva per la simmetria di cui sopra.
Infine si prende il risultato, si magnifica la curva moltiplicando le scale di entrambi gli assi per 3 e si traslano i tre vettori ottenuti prima sommandoci il vettore (5,4).
https://www.desmos.com/calculator/w4wzhcwfuh
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