Discutere la convergenza di un integrale impoprio rispetto ad un parametro.
L'integrale è il seguente:
$I_1=int_(0)^(+infty) [((1+sqrt(1+sqrt(x) ))*(x+sqrt(1+x*sqrt(x))))/((x^\alpha)*(x+x^2 *sqrt(x)))]dx$
Vorrei capire se è giusto il procedimento seguente:
Per $x->+infty$ la funzione $1+sqrt(1+sqrt(x))$ è equivalente a $x^(1/4)$
" " la funzione $x+sqrt(1+x*sqrt(x))$ è equivalente a $x$
" " la funzione $x^\alpha$ è equivalente a $x^\alpha$
" " la funzione $x+x^2*sqrt(x)$ è equivalente a $x^(2+1/2)=x^(5/2)$
" " la funzione integranda sarà equivalente a $(x^(1/4)*x)/(x^\alpha *x^(5/2)$
Quindi l'integrale è convergente se $1/4+1-\alpha-5/2<-1$
$-\alpha<-1+5/2-1-1/4$
$\alpha>1-5/2+1+1/4$
$\alpha>(4-10+4+1)/4$
$\alpha> -1/4$
Per quanto riguarda la convergenza in un intorno destro di zero ho:
Per $x->0^(+)$ la funzione $1+sqrt(1+sqrt(x))$ è equivalente a $2$
" " la funzione $x+sqrt(1+x*sqrt(x))$ è equivalente a $1$
" " la funzione $x^\alpha$ è equivalente a $x^\alpha$
" " la funzione $x+x^2*sqrt(x)$ è equivalente a $x^(1)$
" " la funzione integranda è equivalente a $2/(x^\alpha *x)$
Quindi la condizione per la convergenza in $0^(+)$ è:
$-\alpha-1> -1$
$-\alpha>0$
$\alpha<0$
Intersecando le due condizioni si ha:
$-1/4<\alpha<0$
Il libro mi da $-1/2< \alpha< 0$
È possibile che sia un errore del libro oppure ho sbagliato qualcosa?
Ho provato a calcolare l'integrale su derive con diversi valori di $\alpha$ ma non funziona. Dopo 10 min è ancora che "pensa". Se qualcuno fosse così gentile da aiutarmi a rivedere il procedimento.
$I_1=int_(0)^(+infty) [((1+sqrt(1+sqrt(x) ))*(x+sqrt(1+x*sqrt(x))))/((x^\alpha)*(x+x^2 *sqrt(x)))]dx$
Vorrei capire se è giusto il procedimento seguente:
Per $x->+infty$ la funzione $1+sqrt(1+sqrt(x))$ è equivalente a $x^(1/4)$
" " la funzione $x+sqrt(1+x*sqrt(x))$ è equivalente a $x$
" " la funzione $x^\alpha$ è equivalente a $x^\alpha$
" " la funzione $x+x^2*sqrt(x)$ è equivalente a $x^(2+1/2)=x^(5/2)$
" " la funzione integranda sarà equivalente a $(x^(1/4)*x)/(x^\alpha *x^(5/2)$
Quindi l'integrale è convergente se $1/4+1-\alpha-5/2<-1$
$-\alpha<-1+5/2-1-1/4$
$\alpha>1-5/2+1+1/4$
$\alpha>(4-10+4+1)/4$
$\alpha> -1/4$
Per quanto riguarda la convergenza in un intorno destro di zero ho:
Per $x->0^(+)$ la funzione $1+sqrt(1+sqrt(x))$ è equivalente a $2$
" " la funzione $x+sqrt(1+x*sqrt(x))$ è equivalente a $1$
" " la funzione $x^\alpha$ è equivalente a $x^\alpha$
" " la funzione $x+x^2*sqrt(x)$ è equivalente a $x^(1)$
" " la funzione integranda è equivalente a $2/(x^\alpha *x)$
Quindi la condizione per la convergenza in $0^(+)$ è:
$-\alpha-1> -1$
$-\alpha>0$
$\alpha<0$
Intersecando le due condizioni si ha:
$-1/4<\alpha<0$
Il libro mi da $-1/2< \alpha< 0$
È possibile che sia un errore del libro oppure ho sbagliato qualcosa?
Ho provato a calcolare l'integrale su derive con diversi valori di $\alpha$ ma non funziona. Dopo 10 min è ancora che "pensa". Se qualcuno fosse così gentile da aiutarmi a rivedere il procedimento.
Risposte
È chiaro che resta lì a pensare, se vuoi fare dei test devi calcolare l'integrale in modo approssimato, con un metodo numerico. Non so quale sia la sintassi in Derive per fare questo.
Non ho fatto l'integrazione numerica. Avevo fatto qualcosa (le formule, a fine anno e senza pretese) alle superiori ma gli integrali erano di funzioni continue e su intervalli chiusi e limitati.
[ot]Ho capito, ma come disse un mio professore, "se tu non sai una cosa, la colpa non è del professore che non la ha spiegata; la colpa è tua".
Vuoi fare delle simulazioni al computer per aiutarti con gli esercizi? Mi sembra una idea eccellente; però devi sapere come fare. Dando semplicemente un integrale in pasto a Derive, stai chiedendo di calcolarlo analiticamente e questo in genere è impossibile. Allora, apri la guida in linea e cerca "numerical integration", troverai la sintassi per il calcolo approssimato, che non sarà più difficile della sintassi per il calcolo esatto.[/ot]
Vuoi fare delle simulazioni al computer per aiutarti con gli esercizi? Mi sembra una idea eccellente; però devi sapere come fare. Dando semplicemente un integrale in pasto a Derive, stai chiedendo di calcolarlo analiticamente e questo in genere è impossibile. Allora, apri la guida in linea e cerca "numerical integration", troverai la sintassi per il calcolo approssimato, che non sarà più difficile della sintassi per il calcolo esatto.[/ot]
Ciao SirDanielFortesque,
L'integrale proposto è il seguente:
$ I(\alpha) =\int_{0}^{+\infty} ((1+sqrt(1+sqrt(x)))(x+sqrt(1+x sqrt(x))))/(x^{\alpha}(x+x^2 sqrt(x))) dx $
Si vede quasi subito che $I(0) $ è divergente. Per vedere se hai ragione tu o il tuo libro di testo, potresti fare in questo modo: prendi un valore di $\alpha $ compreso tra $- 1/2 $ e $- 1/4 $, i due valori della discordia, tipo ad esempio $\alpha = - 3/8 $ e vedi se converge o no. Dato che $I(-3/8) $ mi risulta divergente, secondo me hai ragione tu, però potrei essermi sbagliato anch'io...
L'integrale proposto è il seguente:
$ I(\alpha) =\int_{0}^{+\infty} ((1+sqrt(1+sqrt(x)))(x+sqrt(1+x sqrt(x))))/(x^{\alpha}(x+x^2 sqrt(x))) dx $
Si vede quasi subito che $I(0) $ è divergente. Per vedere se hai ragione tu o il tuo libro di testo, potresti fare in questo modo: prendi un valore di $\alpha $ compreso tra $- 1/2 $ e $- 1/4 $, i due valori della discordia, tipo ad esempio $\alpha = - 3/8 $ e vedi se converge o no. Dato che $I(-3/8) $ mi risulta divergente, secondo me hai ragione tu, però potrei essermi sbagliato anch'io...
Mi ha salvato wol*ram alpha.
Quindi c'era un errore sul libro.
Derive anche inserendo $-3/8$ al posto del parametro continuava a calcolare ma non dava una risposta.
Faccio già fatica a imparare quelle due cosette di linguaggio C che provano a insegnarmi a informatica di base... Per il momento mi accontento di un utilizzo di basso livello di questi strumenti, tanto per controllare i risultati quando il libro presenta errori (che non è così raro, però mi mette in crisi).
Grazie a tutti!
Quindi c'era un errore sul libro.
Derive anche inserendo $-3/8$ al posto del parametro continuava a calcolare ma non dava una risposta.
"dissonance":
Ho capito, ma come disse un mio professore, "se tu non sai una cosa, la colpa non è del professore che non la ha spiegata; la colpa è tua".Vuoi fare delle simulazioni al computer per aiutarti con gli esercizi? Mi sembra una idea eccellente; però devi sapere come fare.
Faccio già fatica a imparare quelle due cosette di linguaggio C che provano a insegnarmi a informatica di base... Per il momento mi accontento di un utilizzo di basso livello di questi strumenti, tanto per controllare i risultati quando il libro presenta errori (che non è così raro, però mi mette in crisi).
Grazie a tutti!
Ok, sono contento che l'esercizio si sia chiarito. Quanto alla integrazione numerica, non ti stavo certo proponendo di metterti a studiare chissà cosa. Dicevo solamente di cambiare il comando; invece del comando che stai usando tu, bisognerà usarne un altro che calcola l'integrale numericamente - questo è tutto! Io Derive non lo conosco sennò ti direi io quale comando usare.
Derive è un programma come Geogebra. Adesso ho capito che quando non mi risolve l'integrale improprio è perché non converge ma non mi avverte del fatto, altrimenti li riconosce come tali in automatico e mi da il valore esatto, in genere, o approssimato se non riesce a trovarlo.
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