Discutere la continuità della funzione con parametro.

[55sarah]

Ciao a tutti, ho un dubbio se ho svolto correttamente l'esercizio. Controllate per favore. Grazie in anticipo

Discutere al variare del parametro $\alpha\in(0,1)\bigcup(1,+\infty)$ la continuità della funzione

$f(x)={(\exp(\alpha((\sin^2 x)/(x)))-1; x<0),(0; x=0),((x)/(\log_\alpha(1+\alpha x))+(\ln(\alpha+x))/(2); x>0) :}$

allora
per prima cosa faccio il limite per $x\rightarrow 0^-$

$\lim_{x\rightarrow0^-}\exp(\alpha((\sin^2 x)/(x)))-1$

faccio lo sviluppo e viene $(1+\alpha((x+o(x))^2/(x)))-1=$\(\displaystyle \cancel{1}+\alpha x+o(x)\cancel{-1}\sim \alpha x =0 \) per $x\rightarrow 0^-$

il primo limite è 0

ora faccio il limite per $x\rightarrow 0^+$

$\lim_{x\rightarrow 0^+} (x)/(\log_\alpha(1+\alpha x))+(\ln(\alpha+x))/(2)$

per prima cosa porto in base naturale il primo logaritmo $\log_\alpha(1+\alpha x)=(\ln (1+\alpha x))/(\ln \alpha)$

quindi si ha
$\lim_{x\rightarrow0^+}(x \ln \alpha)/(\ln(1+\alpha x))+(\ln(\alpha+x))/(2)=\lim_{x\rightarrow0^+}(x\ln \alpha)/(\alpha x+o(x))+(\ln \alpha)/2\sim$ \(\displaystyle \frac{\cancel{x} \ln \alpha}{\alpha \cancel{x}}+\frac{\ln \alpha}{2}= \)
$=(\ln \alpha)/(\alpha)+(\ln \alpha)/(2)=\ln \alpha(1/\alpha +1/2)$ per $x\rightarrow0^+$

quest'ultimo è continua se e solo se ${(\ln \alpha=0),(1/\alpha+1/2=0):}\rightarrow {(\alpha=1),(\alpha=-2):}$

e si conclude tenendo presente $\alpha\in(0,1)\bigcup(1,+\infty)$ che per nessun valore la funzione risulta continua nell'origine..

[Luca.Lussardi]

Mi sembra che vada bene (il primo limite era immediato in realtà, $(\sin^2x)/x=(\sin^2x)/(x^2)x$).