Discutere il carattere della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n} + \frac{1}{2\sqrt{n}} - \sqrt{n+1})^\alpha$
Bisogna discutere il carattere della serie al variare del parametro $\alpha > 0$.
La verifica della condizione necessaria per la convergenza è banalmente rispettata per ogni $\alpha$.
Vista la presenza di tale parametro, la mia idea era quella di confrontare la serie data con quella armonica generalizzata, ossia $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}$.
Dunque
$\lim_{n->\infty} (\frac{\sqrt{n} + \frac{1}{2\sqrt{n}} - \sqrt{n+1}}{\frac{1}{n}})^\alpha$
$= \lim_{n->\infty} (\frac{2n^2 + n -2n\sqrt{n^2 + n}}{2\sqrt{n}})^\alpha$
$= \lim_{n->\infty} (n^(3/2) + 1/2n^(1/2) - \sqrt{n^3 + n^2})^\alpha = \infty$
Per $\alpha \leq 1$ la serie armonica generalizzata diverge, quindi anche quella iniziale diverge.
Mi chiedo:
1) Se il procedimento è corretto fino a questo punto, come posso muovermi per il caso $\alpha > 1$?
2) Volendo effettuare delle maggiorazioni/minorazioni che portino più rapidamente alla soluzione, come potrei agire?
La verifica della condizione necessaria per la convergenza è banalmente rispettata per ogni $\alpha$.
Vista la presenza di tale parametro, la mia idea era quella di confrontare la serie data con quella armonica generalizzata, ossia $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}$.
Dunque
$\lim_{n->\infty} (\frac{\sqrt{n} + \frac{1}{2\sqrt{n}} - \sqrt{n+1}}{\frac{1}{n}})^\alpha$
$= \lim_{n->\infty} (\frac{2n^2 + n -2n\sqrt{n^2 + n}}{2\sqrt{n}})^\alpha$
$= \lim_{n->\infty} (n^(3/2) + 1/2n^(1/2) - \sqrt{n^3 + n^2})^\alpha = \infty$
Per $\alpha \leq 1$ la serie armonica generalizzata diverge, quindi anche quella iniziale diverge.
Mi chiedo:
1) Se il procedimento è corretto fino a questo punto, come posso muovermi per il caso $\alpha > 1$?
2) Volendo effettuare delle maggiorazioni/minorazioni che portino più rapidamente alla soluzione, come potrei agire?
Risposte
Risulta
$sqrt n + 1/(2 sqrt n) - sqrt(n+1) =$
$= (sqrt n - sqrt(n+1))*(sqrt n + sqrt(n+1))/(sqrt n + sqrt(n+1)) + 1/(2 sqrt n)=$
$=-1/(sqrt n + sqrt(n+1))+ 1/(2 sqrt n)=$
$=(-2 sqrt(n) + sqrt n + sqrt(n+1))/(2*sqrt n*(sqrt n + sqrt(n+1)))=$
$=(sqrt(n+1)- sqrt(n))/(2*sqrt n*(sqrt n + sqrt(n+1)))=$
$=((sqrt(n+1)- sqrt(n))*(sqrt(n+1)+ sqrt(n)))/(2*sqrt n*(sqrt n + sqrt(n+1))^2)=$
$=1/(2*sqrt n*(sqrt n + sqrt(n+1))^2)$
A questo punto dovrebbe essere più semplice determinare il carattere della serie.
$sqrt n + 1/(2 sqrt n) - sqrt(n+1) =$
$= (sqrt n - sqrt(n+1))*(sqrt n + sqrt(n+1))/(sqrt n + sqrt(n+1)) + 1/(2 sqrt n)=$
$=-1/(sqrt n + sqrt(n+1))+ 1/(2 sqrt n)=$
$=(-2 sqrt(n) + sqrt n + sqrt(n+1))/(2*sqrt n*(sqrt n + sqrt(n+1)))=$
$=(sqrt(n+1)- sqrt(n))/(2*sqrt n*(sqrt n + sqrt(n+1)))=$
$=((sqrt(n+1)- sqrt(n))*(sqrt(n+1)+ sqrt(n)))/(2*sqrt n*(sqrt n + sqrt(n+1))^2)=$
$=1/(2*sqrt n*(sqrt n + sqrt(n+1))^2)$
A questo punto dovrebbe essere più semplice determinare il carattere della serie.
Ciao CosenTheta,
Sfruttando ciò che ti ha già astutamente scritto ingres farei così:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (\sqrt{n} + \frac{1}{2\sqrt{n}} - \sqrt{n+1})^\alpha = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/(2\sqrt{n}(\sqrt{n} + \sqrt{n + 1})^2))^\alpha < $
$ < \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/(2\sqrt{n}(\sqrt{n} + \sqrt{n})^2))^\alpha = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/(2\sqrt{n}(2\sqrt{n})^2))^\alpha = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/(2\sqrt{n})^3)^\alpha = 1/8^\alpha \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{3/2\alpha} $
L'ultima serie scritta converge se $3/2\alpha > 1 \implies \alpha > 2/3 $
"CosenTheta":
Volendo effettuare delle maggiorazioni/minorazioni che portino più rapidamente alla soluzione, come potrei agire?
Sfruttando ciò che ti ha già astutamente scritto ingres farei così:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (\sqrt{n} + \frac{1}{2\sqrt{n}} - \sqrt{n+1})^\alpha = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/(2\sqrt{n}(\sqrt{n} + \sqrt{n + 1})^2))^\alpha < $
$ < \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/(2\sqrt{n}(\sqrt{n} + \sqrt{n})^2))^\alpha = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/(2\sqrt{n}(2\sqrt{n})^2))^\alpha = \sum_{n = 1}^{+\infty} (1/(2\sqrt{n})^3)^\alpha = 1/8^\alpha \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{3/2\alpha} $
L'ultima serie scritta converge se $3/2\alpha > 1 \implies \alpha > 2/3 $
Grazie.
La vostra soluzione è certamente molto più elegante. Tuttavia, dov'è l'errore in quella che ho proposto io?
La vostra soluzione è certamente molto più elegante. Tuttavia, dov'è l'errore in quella che ho proposto io?
Sbagli il limite. Infatti, per ogni $\alpha>0$ è:
$$\lim_{n\to + \infty} \left(n^{3/2} + \frac{1}{2n^{1/2}} - \sqrt{n^3 + n^2}\right)^\alpha=0$$
Inoltre, ti consiglio di fare i conti come segue (è molto più rapido rispetto a fare il minimo comune multiplo):
$$\frac{\sqrt{n}+\frac{1}{2\sqrt{n}}-\sqrt{n+1}}{\frac{1}{n}}=n \left(\sqrt{n}+\frac{1}{2\sqrt{n}}-\sqrt{n+1}\right)=n^{3/2}+\frac{1}{2}\sqrt{n}-\sqrt{n^3+n^2}$$
$$\lim_{n\to + \infty} \left(n^{3/2} + \frac{1}{2n^{1/2}} - \sqrt{n^3 + n^2}\right)^\alpha=0$$
Inoltre, ti consiglio di fare i conti come segue (è molto più rapido rispetto a fare il minimo comune multiplo):
$$\frac{\sqrt{n}+\frac{1}{2\sqrt{n}}-\sqrt{n+1}}{\frac{1}{n}}=n \left(\sqrt{n}+\frac{1}{2\sqrt{n}}-\sqrt{n+1}\right)=n^{3/2}+\frac{1}{2}\sqrt{n}-\sqrt{n^3+n^2}$$
"Mephlip":
Sbagli il limite. Infatti, per ogni $ \alpha>0 $ è:
\[ \lim_{n\to + \infty} \left(n^{3/2} + \frac{1}{2n^{1/2}} - \sqrt{n^3 + n^2}\right)^\alpha=0 \]
Il secondo addendo non dovrebbe essere $\frac{1}{2}n^(1/2)$ (come hai scritto tu nell'ultima uguaglianza) anziché $\frac{1}{2n^{1/2}}$?
Sì, hai ragione tu, scusami. Appena ho un po' di tempo ti rispondo meglio.
Eccomi. Allora, l'errore è il seguente: $\alpha>0$ è un parametro che ha un ruolo ben preciso, quello di essere il preassegnato esponente della successione sotto il segno di serie. Quindi, per fare un confronto con una serie armonica generica, dato che essa non ha necessariamente lo stesso esponente della successione sotto il segno di serie devi usare un altro parametro. Quindi, per dedurre correttamente qualcosa da un confronto asintotico, dovresti calcolare un limite del tipo:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\left(\sqrt{n}+\frac{1}{2\sqrt{n}}-\sqrt{n+1}\right)^\alpha}{\frac{1}{n^\beta}}$$
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\left(\sqrt{n}+\frac{1}{2\sqrt{n}}-\sqrt{n+1}\right)^\alpha}{\frac{1}{n^\beta}}$$
Grazie.
"CosenTheta":
La vostra soluzione è certamente molto più elegante.
Non è solo una questione di eleganza, ma in questo caso anche di maggiore semplicità... Intendiamoci, non è che sia pregiudizialmente contro le stime asintotiche, ma quando è possibile preferisco procedere con le maggiorazioni che hanno anche l'indubbio vantaggio di fornire un numero; ad esempio nel caso semplice $\alpha = 1 $ si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (\sqrt{n} + \frac{1}{2\sqrt{n}} - \sqrt{n+1}) = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(2\sqrt{n}(\sqrt{n} + \sqrt{n + 1})^2) < $
$ < \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(2\sqrt{n}(\sqrt{n} + \sqrt{n})^2) = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(2\sqrt{n}(2\sqrt{n})^2) = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(2\sqrt{n})^3 = 1/8 \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{3/2} = 1/8 \zeta(3/2) ~~ 0,3265 $
Approfondimento interessante.
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