Discutere il carattere della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} n^\beta(e^(1/n) - e^(1/(n+1)))$
L'esponente $\beta$ è un parametro reale.
Avevo pensato di agire come segue: siccome $e^(1/n)$ una successione che assume il suo massimo pari ad $e$ per $n = 1$, mentre $e^(1/(n+1))$ assume il suo minimo pari a $1$ all'infinito, potrei maggiorare la differenza degli esponenziali come segue
$n^\beta(e^(1/n) - e^(1/(n+1))) < n^(\beta)(e - 1)$
Considero allora la serie
$\sum_{n = 1}^{\infty} n^\beta(e - 1) = (e - 1)\sum_{n = 1}^{\infty} n^\beta$
che converge per $\beta < -1$. E' corretto?
Avevo pensato di agire come segue: siccome $e^(1/n)$ una successione che assume il suo massimo pari ad $e$ per $n = 1$, mentre $e^(1/(n+1))$ assume il suo minimo pari a $1$ all'infinito, potrei maggiorare la differenza degli esponenziali come segue
$n^\beta(e^(1/n) - e^(1/(n+1))) < n^(\beta)(e - 1)$
Considero allora la serie
$\sum_{n = 1}^{\infty} n^\beta(e - 1) = (e - 1)\sum_{n = 1}^{\infty} n^\beta$
che converge per $\beta < -1$. E' corretto?
Risposte
Corretto ma incompleto. Infatti, applicando il criterio del confronto asintotico:
Insomma, poiché, ovviamente:
la serie è del tutto equivalente alla serie armonica generalizzata sottostante:
convergente se e solo se:
$n rarr +oo$
$e^(1/n)=1+1/n+1/(2n^2)+o(1/n^2)$
$e^(1/(n+1))=1+1/(n+1)+1/(2(n+1)^2)+o[1/(n+1)^2]=1+1/(n+1)+1/(2(n+1)^2)+o(1/n^2)$
$e^(1/n)-e^(1/(n+1))=$
$=1+1/n+1/(2n^2)+o(1/n^2)-1-1/(n+1)-1/(2(n+1)^2)+o(1/n^2)=$
$=(2n^2+4n+1)/(2n^2(n+1)^2)+o(1/n^2)$
Insomma, poiché, ovviamente:
$(2n^2+4n+1)/(2n^2(n+1)^2)=1/n^2+o(1/n^2)$
la serie è del tutto equivalente alla serie armonica generalizzata sottostante:
$\sum_{n=1}^(+oo)1/n^(2-\beta)$
convergente se e solo se:
$\beta lt 1$
Ciao CosenTheta,
Può bastare anche al primo ordine, infatti si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} n^\beta(e^(1/n) - e^(1/(n+1))) = \sum_{n = 1}^{+\infty} n^\beta[e^(1/n) - 1 - (e^(1/(n+1)) - 1)] $ [tex]\sim[/tex] $ \sum_{n = 1}^{+\infty} n^\beta(1/n - 1/(n+1)) = $
$ = \sum_{n = 1}^{+\infty} n^\beta/(n(n+1)) < \sum_{n = 1}^{+\infty} n^\beta/n^2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{2 - \beta} $
L'ultima serie scritta converge per $2 - \beta > 1 \implies \beta < 1 $
Può bastare anche al primo ordine, infatti si ha:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} n^\beta(e^(1/n) - e^(1/(n+1))) = \sum_{n = 1}^{+\infty} n^\beta[e^(1/n) - 1 - (e^(1/(n+1)) - 1)] $ [tex]\sim[/tex] $ \sum_{n = 1}^{+\infty} n^\beta(1/n - 1/(n+1)) = $
$ = \sum_{n = 1}^{+\infty} n^\beta/(n(n+1)) < \sum_{n = 1}^{+\infty} n^\beta/n^2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{2 - \beta} $
L'ultima serie scritta converge per $2 - \beta > 1 \implies \beta < 1 $
Grazie.
Tuttavia, sto sforzandomi di capire perché ciò che io ho proposto sia
Anziché applicare il criterio del confronto asintotico, io ho voluto applicare il criterio del confronto, cioè quello per cui si ha che se $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ e $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ sono serie a termini positivi e $a_n <= b_n$ definitivamente, allora si ha che se $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ converge allora anche $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ converge. Essendo corretto che $ n^\beta(e^(1/n) - e^(1/(n+1))) < n^(\beta)(e - 1) $, pongo $a_n = n^\beta(e^(1/n) - e^(1/(n+1)))$ e $b_n = n^(\beta)(e - 1)$ la cui serie associata è una semplice serie armonica generalizzata che chiaramente converge per $\beta < -1$. Dunque, per il teorema, dovrei concludere che anche $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ converge con lo stesso risultato su $\beta$.
Avendo già applicato un teorema per la convergenza, perché devo applicarne un altro (quello asintotico)?
Tuttavia, sto sforzandomi di capire perché ciò che io ho proposto sia
"Noodles":
corretto ma incompleto.
Anziché applicare il criterio del confronto asintotico, io ho voluto applicare il criterio del confronto, cioè quello per cui si ha che se $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ e $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ sono serie a termini positivi e $a_n <= b_n$ definitivamente, allora si ha che se $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ converge allora anche $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ converge. Essendo corretto che $ n^\beta(e^(1/n) - e^(1/(n+1))) < n^(\beta)(e - 1) $, pongo $a_n = n^\beta(e^(1/n) - e^(1/(n+1)))$ e $b_n = n^(\beta)(e - 1)$ la cui serie associata è una semplice serie armonica generalizzata che chiaramente converge per $\beta < -1$. Dunque, per il teorema, dovrei concludere che anche $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ converge con lo stesso risultato su $\beta$.
Avendo già applicato un teorema per la convergenza, perché devo applicarne un altro (quello asintotico)?
"pilloeffe":
Può bastare anche al primo ordine ...
Veramente, al primo ordine:
$n rarr +oo$
$e^(1/n)-e^(1/(n+1))=$
$=1+1/n+o(1/n)-1-1/(n+1)+o(1/(n+1))=$
$=1+1/n+o(1/n)-1-1/(n+1)+o(1/n)=$
$=1/n-1/(n+1)+o(1/n)=$
$=1/(n(n+1))+o(1/n)=$
$=1/n^2+o(1/n^2)+o(1/n)=$
$=1/n^2+o(1/n)$
non si possono escludere eventuali cancellazioni.
"CosenTheta":
... se $\sum_{n = 1}^{\infty}b_n$ converge allora anche $\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$ converge.
Tuttavia, se $\sum_{n = 1}^{\infty}b_n$ diverge, su $\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$ non puoi concludere nulla.
"Noodles":
Tuttavia, se $ \sum_{n = 1}^{\infty}b_n $ diverge, su $ \sum_{n = 1}^{\infty}a_n $ non puoi concludere nulla.
Sì, effettivamente per $\beta \geq -1$ non si può concludere nulla.
Sembra che il procedimento da me proposto restituisca una sorta di sottoinsieme della soluzione (lascia scoperto l'intervallo $\[-1,1\[$). Qual è, in conclusione, l'inghippo?
Se volessi concludere applicando solo il criterio del confronto, dovresti:
1. Maggiorare con una serie convergente anche per:
1. Minorare con una serie divergente per:
Per questo motivo conviene applicare subito il criterio del confronto asintotico:
sicuramente più immediato e più efficace.
1. Maggiorare con una serie convergente anche per:
$-1 lt= \beta lt 1$
1. Minorare con una serie divergente per:
$\beta gt= 1$
Per questo motivo conviene applicare subito il criterio del confronto asintotico:
$n rarr +oo$
$n^\beta(e^(1/n)-e^(1/(n+1)))~~1/n^(2-\beta)$
sicuramente più immediato e più efficace.
Grazie.
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