Discutere esistenza, unicità e prolungamento
Ciao a tutti! in questi giorni sto affrontando le equazioni differenziali e ho parecchi esercizi di una certa tipologia che non riesco a risolvere in modo completo...ad esempio :
Data l'equazione differenziale
y'= (x^2 + y^2)(1 - sin ^2y)
a) discutere l'esistenza e l'unicità locale delle soluzioni
b) provare che la soluzione con dato y(0)=0 è prolungabile su R
per il punto a) io so che devo praticamente verificare che le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale siano vere, cioè guardare la continuità , la lipschizianità oppure la continuità della derivata prima parziale rispetto alla y....
per il punto b) buio totale...so che c'è un teorema al riguardo , ovvero il teorema di prolungabilità...però non so come metterlo in pratica...
Data l'equazione differenziale
y'= (x^2 + y^2)(1 - sin ^2y)
a) discutere l'esistenza e l'unicità locale delle soluzioni
b) provare che la soluzione con dato y(0)=0 è prolungabile su R
per il punto a) io so che devo praticamente verificare che le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale siano vere, cioè guardare la continuità , la lipschizianità oppure la continuità della derivata prima parziale rispetto alla y....
per il punto b) buio totale...so che c'è un teorema al riguardo , ovvero il teorema di prolungabilità...però non so come metterlo in pratica...
Risposte
Cominciamo dalla prima cosa: che puoi dire riguardo la funzione
[math]f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{1-\sin^2 y}[/math]
? Dove è definita? Dove è continua? E' differenziabile? Negli eventuali punti problematici, cosa si può dire?
premessa : grazie per aver risposto, comunque in mezzo alle due parentesi tonde c'è proprio un * , non è una divisione... ;)
allora, provo a rispondere alle tue domande , la funzione è definita in tutto R e quindi è sicuramente continua, e in teoria abbiamo verificato l'esistenza di una soluzione, per verificare l'unicità o faccio la derivata parziale rispetto a y e vedo se anche la funzione che ottengo è continua oppure guardo la lischizianità...e direi che possiamo dire facendo la derivata che anch'essa sia continua.
Aggiungo che la funzione è quindi anche differenziabile..
allora, provo a rispondere alle tue domande , la funzione è definita in tutto R e quindi è sicuramente continua, e in teoria abbiamo verificato l'esistenza di una soluzione, per verificare l'unicità o faccio la derivata parziale rispetto a y e vedo se anche la funzione che ottengo è continua oppure guardo la lischizianità...e direi che possiamo dire facendo la derivata che anch'essa sia continua.
Aggiungo che la funzione è quindi anche differenziabile..
Ah scusa, non so perché ma avevo visto un / (sto iniziando a diventare cieco).
Bé, se è così, allora la cosa è ancora più semplice: la funzione è di classe
Per quanto riguarda il punto 2: non mi pare tu riesca ad esibire una soluzione esplicita, o sì? Così su due piedi mi sembra difficile calcolarla. Tuttavia visto che hai assicurato l'esistenza e unicità locale, puoi far vedere se è possibile scrivere
con una opportuna scelta di funzioni continue A e B. Io dico che dovresti ottenere qualcosa di facile, tenendo conto che
Bé, se è così, allora la cosa è ancora più semplice: la funzione è di classe
[math]c^\infty[/math]
come si vede facilmente (prodotto di due funzioni derivabili infinite volte con derivate continue) per cui possono valere tutti i teoremi di esistenza e unicità possibili e immaginabili.Per quanto riguarda il punto 2: non mi pare tu riesca ad esibire una soluzione esplicita, o sì? Così su due piedi mi sembra difficile calcolarla. Tuttavia visto che hai assicurato l'esistenza e unicità locale, puoi far vedere se è possibile scrivere
[math]|f(x,y)|\le A(x)+B(x)|y|[/math]
con una opportuna scelta di funzioni continue A e B. Io dico che dovresti ottenere qualcosa di facile, tenendo conto che
[math]0\le 1-\sin^2 y\le 1[/math]
per il punto 1) ok!
per il punto 2)non credo proprio io debba trovare una soluzione vera e propria, perchè mi sembra al quanto complicata la cosa, quindi si direi che dopo aver verificato tutte le ipotesi del teorema di unicità ed esistenza per il punto 1 ,possiamo guardare se è verificata anche l'ipotesi che hai scritto tu |f(x,y)|
per il punto 2)non credo proprio io debba trovare una soluzione vera e propria, perchè mi sembra al quanto complicata la cosa, quindi si direi che dopo aver verificato tutte le ipotesi del teorema di unicità ed esistenza per il punto 1 ,possiamo guardare se è verificata anche l'ipotesi che hai scritto tu |f(x,y)|
Esatto. Però stavo pensando che in realtà la sublinearità non ce l'hai. Quindi bisogna procedere in modo diverso. Mmmmmmmm, ci devo pensare un po' su.
ok ;) intanto grazie mille...!
Ok, ti do' un'idea che andrebbe formalizzata meglio. Abbiamo detto che l'esistenza e unicità locali sono assodate, Inoltre
A causa della regolarità dell f, ne segue una regolarità di y che permette di affermare che questa serie risulta sempre convergente alla soluzione per ogni valore x, da cui l'esistenza globale.
Tuttavia non so se avete mai fatto questo tipo di ragionamenti.
[math]f(x,y)[/math]
è bene definita dappertutto. Osserva che la soluzione del problema di Cauchy, porta anche a dire che [math]y'(0)=0[/math]
, pertanto se volessimo sviluppare con McLaurin la soluzione in un intorno dell'origine avremmo [math]y(x)=\sum_{k=2}^\infty a_k x^k,\qquad a_k=\frac{1}{k!}\ D^k[f(x)](0)[/math]
A causa della regolarità dell f, ne segue una regolarità di y che permette di affermare che questa serie risulta sempre convergente alla soluzione per ogni valore x, da cui l'esistenza globale.
Tuttavia non so se avete mai fatto questo tipo di ragionamenti.
si si abbiamo fatto questi tipi di ragionamenti! :\ ma io non ci sarei mai arrivata in questo caso...
conclusione, ora direi sia tutto ok! ancora grazie mille per il tempo che mi hai dedicato!
alla prossima :)
conclusione, ora direi sia tutto ok! ancora grazie mille per il tempo che mi hai dedicato!
alla prossima :)
Prego. Comunque andrebbe scritto un pochettino meglio.
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