Discutere al variare di alfa la convergenza di una serie
Salve a tutti,
ho provato a risolvere questo esercizio:
Discutere al variare di $\alpha$ appartenente ad $RR$ la convergenza della serie:
$\sum_{n=1}^oo [e^(1/(sqrt(n)))-1-sqrt((1/n))] / [(1-cos(1/n))^(\alpha)] * ln(1+1/sqrt(n)) $
Ho constatato che il logaritmo tenderebbe a zero indipendentemente da $\alpha$.
Il numeratore va anch'esso decrescendo verso lo zero.
Rimane, ovviamente, solo il denominatore su cui manipolare il valore di $\alpha$, ma anch'esso tenderebbe
a zero indipendetemente dal suo valore.
Probabilmente però non ho ben capito come intervenire. Non ci sono esempi o esercizi simili su nessuno dei libri di testo che posseggo.
Devo applicare i teoremi delle Serie? E in che modo dovrei far variare $\alpha$ in modo che la serie converga o diverga?
Questo è uno degli ultimi ostacoli da superare
Grazie per l'attenzione
ho provato a risolvere questo esercizio:
Discutere al variare di $\alpha$ appartenente ad $RR$ la convergenza della serie:
$\sum_{n=1}^oo [e^(1/(sqrt(n)))-1-sqrt((1/n))] / [(1-cos(1/n))^(\alpha)] * ln(1+1/sqrt(n)) $
Ho constatato che il logaritmo tenderebbe a zero indipendentemente da $\alpha$.
Il numeratore va anch'esso decrescendo verso lo zero.
Rimane, ovviamente, solo il denominatore su cui manipolare il valore di $\alpha$, ma anch'esso tenderebbe
a zero indipendetemente dal suo valore.
Probabilmente però non ho ben capito come intervenire. Non ci sono esempi o esercizi simili su nessuno dei libri di testo che posseggo.
Devo applicare i teoremi delle Serie? E in che modo dovrei far variare $\alpha$ in modo che la serie converga o diverga?
Questo è uno degli ultimi ostacoli da superare
Grazie per l'attenzione
Risposte
se ignori $alpha$ nella prima frazione trovi che numeratore e denominatore tendono entrambi a $0$ quindi è una forma di indecisione, risolvendo proprio questa forma di indecisone dovresti ottenere diversi valori al variare di $alpha$
Grazie Walter;
ho quindi provato ad applicare il teorema di De L'Hopital.
Ottengo quindi una forma 1/0 che ha per limite $oo$
Quindi, considerando anche la funzione successiva, ho una forma $oo*0$, anch'essa indeterminata.
Però non capisco in che maniera il variare di $\alpha$ possa influenzare questi risultati.
Mi appare sempre del tutto ininfluente...
Se provo a considerare la $\alpha$ nel calcolo della derivata, trovo qualcosa del tipo:
$(del(1-cos(1/n))^\alpha)/(deln) = \alpha(1-cos(1/n))^(\alpha-1)sen(1/n)ln(n)$
1) Indipendentemente dal valore di $\alpha>0$ ottengo quindi uno 0 al denominatore.
2) Se ponto $\alpha=0$ ottengo una forma $0/1$ quindi in totale $0*oo$, e siamo sempre lì.
3) Se pongo $\alpha<0$, ottengo:
$0*0*0$ è forse questa la differenza?
Cioè in questi tre casi otterrei valori diversi della serie con $\alpha$ che varia nell'intorno di 0.
E'forse questa l'agognata soluzione?
ho quindi provato ad applicare il teorema di De L'Hopital.
Ottengo quindi una forma 1/0 che ha per limite $oo$
Quindi, considerando anche la funzione successiva, ho una forma $oo*0$, anch'essa indeterminata.
Però non capisco in che maniera il variare di $\alpha$ possa influenzare questi risultati.
Mi appare sempre del tutto ininfluente...
Se provo a considerare la $\alpha$ nel calcolo della derivata, trovo qualcosa del tipo:
$(del(1-cos(1/n))^\alpha)/(deln) = \alpha(1-cos(1/n))^(\alpha-1)sen(1/n)ln(n)$
1) Indipendentemente dal valore di $\alpha>0$ ottengo quindi uno 0 al denominatore.
2) Se ponto $\alpha=0$ ottengo una forma $0/1$ quindi in totale $0*oo$, e siamo sempre lì.
3) Se pongo $\alpha<0$, ottengo:
$0*0*0$ è forse questa la differenza?
Cioè in questi tre casi otterrei valori diversi della serie con $\alpha$ che varia nell'intorno di 0.
E'forse questa l'agognata soluzione?
Io proverei a studiare l'ordine di infinitesimo di ognuno dei fattori
[tex]\displaystyle e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\sqrt{\frac{1}{n}}[/tex] è infinitesimo di ordine .....
[tex]\displaystyle (1-\cos(1/n))^\alpha[/tex] è infinitesimo o infinito o nessuno dei due? Tieni conto che [tex]\alpha[/tex] varia in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], può essere anche negativo...
[tex]\displaystyle \ln(1+1/\sqrt{n})[/tex] è infinitesimo di ordine ....
Quindi il termine generale della serie è infinitesimo? E se sì, di che ordine?
Spero di averti portato sulla strada giusta.
[tex]\displaystyle e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\sqrt{\frac{1}{n}}[/tex] è infinitesimo di ordine .....
[tex]\displaystyle (1-\cos(1/n))^\alpha[/tex] è infinitesimo o infinito o nessuno dei due? Tieni conto che [tex]\alpha[/tex] varia in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], può essere anche negativo...
[tex]\displaystyle \ln(1+1/\sqrt{n})[/tex] è infinitesimo di ordine ....
Quindi il termine generale della serie è infinitesimo? E se sì, di che ordine?
Spero di averti portato sulla strada giusta.
Grazie Cirasa per essere intervenuto;
$(1-cos(1/n))^\alpha $
1) con $\alpha > 0$ è infinitesimo
2) con $\alpha < 0$ è infinito, perchè risulterà $1/0$
Poichè $[e^(1/(sqrt(n)))-1-sqrt((1/n))]$ risulta essere un infinitesimo, ottengo queste possibilità:
$\alpha > 0$-> $0/0$, potrei quindi variare $\alpha$ in modo che i due infinitesimi risultino dello stesso ordine.
$\alpha < 0$-> $0/oo$ e quindi 0, in questo caso $\alpha$ mi sembra irrilevante (potrei quindi considerare tutto l'asse negativo).
Se prendiamo in considerazione anche $ln(1+1/sqrt(n))$ :
$\alpha > 0$) supposto di ottenere un limite finito per la frazione, con la giusta $\alpha$, ora mi troverei a moltiplicarlo
comunque per un infinitesimo, con il risultato di azzerarne il limite.
$\alpha < 0$) qui avrei $0*0$ e di nuovo uno $0$ come risultato del limite.
Non capisco il motivo, ma qualunque cosa faccia (probabilmente sempre sbagliata a questo punto), mi pare che $\alpha$ sia sempre qualcosa di superfluo
$(1-cos(1/n))^\alpha $
1) con $\alpha > 0$ è infinitesimo
2) con $\alpha < 0$ è infinito, perchè risulterà $1/0$
Poichè $[e^(1/(sqrt(n)))-1-sqrt((1/n))]$ risulta essere un infinitesimo, ottengo queste possibilità:
$\alpha > 0$-> $0/0$, potrei quindi variare $\alpha$ in modo che i due infinitesimi risultino dello stesso ordine.
$\alpha < 0$-> $0/oo$ e quindi 0, in questo caso $\alpha$ mi sembra irrilevante (potrei quindi considerare tutto l'asse negativo).
Se prendiamo in considerazione anche $ln(1+1/sqrt(n))$ :
$\alpha > 0$) supposto di ottenere un limite finito per la frazione, con la giusta $\alpha$, ora mi troverei a moltiplicarlo
comunque per un infinitesimo, con il risultato di azzerarne il limite.
$\alpha < 0$) qui avrei $0*0$ e di nuovo uno $0$ come risultato del limite.
Non capisco il motivo, ma qualunque cosa faccia (probabilmente sempre sbagliata a questo punto), mi pare che $\alpha$ sia sempre qualcosa di superfluo
E' ok il caso $\alpha<0$, in quanto si ottiene che il termine generale è
[tex]\displaystyle a_n=(1-\cos(1/n))^{-\alpha}\left(e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\sqrt{\frac{1}{n}}\right)\ln(1+1/\sqrt{n})[/tex]
e quindi, in quanto prodotto di infinitesimi, è infinitesimo.
Il problema è che dobbiamo ancora capire di che ordine di infinitesimo si tratta per capire se, in questo caso, la serie converge.
Quindi trova l'ordine di infinitesimo di ognuno dei tre fattori e poi l'ordine di infinitesimo del termine generale...
Nel caso $\alpha=0$, il termine generale della serie si riduce a
[tex]\displaystyle a_n=\left(e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\sqrt{\frac{1}{n}}\right)\ln(1+1/\sqrt{n})[/tex]
E anche in questo caso il termine generale è infinitesimo, ma di che ordine?
Nel caso $\alpha>0$, come dici tu, il pezzo con il coseno è infinito. Tu scrivi:
E il caso in cui $\alpha$ sia tale che i due infinitesimi non siano dello stesso ordine non lo consideri?
E' possibile che per qualche valore di $alpha$ il denominatore "prevalga" su entrambi i fattori al denominatore?
Come vedi il tutto si riduce a capire quando tutta la successione $a_n$ è infinitesima.
Per i valori di $alpha$ per cui la successione non è infinitesima (ma quali sono?), puoi metterti l'anima in pace: la serie non converge.
Per gli altri valori di $alpha$ devi capire l'ordine di infinitesimo e sfruttare qualche teorema sulla convergenza delle serie...
Non mi resta che augurarti buon lavoro!
[tex]\displaystyle a_n=(1-\cos(1/n))^{-\alpha}\left(e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\sqrt{\frac{1}{n}}\right)\ln(1+1/\sqrt{n})[/tex]
e quindi, in quanto prodotto di infinitesimi, è infinitesimo.
Il problema è che dobbiamo ancora capire di che ordine di infinitesimo si tratta per capire se, in questo caso, la serie converge.
Quindi trova l'ordine di infinitesimo di ognuno dei tre fattori e poi l'ordine di infinitesimo del termine generale...
Nel caso $\alpha=0$, il termine generale della serie si riduce a
[tex]\displaystyle a_n=\left(e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\sqrt{\frac{1}{n}}\right)\ln(1+1/\sqrt{n})[/tex]
E anche in questo caso il termine generale è infinitesimo, ma di che ordine?
Nel caso $\alpha>0$, come dici tu, il pezzo con il coseno è infinito. Tu scrivi:
"faximusy":
$\alpha > 0$-> $0/0$, potrei quindi variare $\alpha$ in modo che i due infinitesimi risultino dello stesso ordine.
E il caso in cui $\alpha$ sia tale che i due infinitesimi non siano dello stesso ordine non lo consideri?
E' possibile che per qualche valore di $alpha$ il denominatore "prevalga" su entrambi i fattori al denominatore?
Come vedi il tutto si riduce a capire quando tutta la successione $a_n$ è infinitesima.
Per i valori di $alpha$ per cui la successione non è infinitesima (ma quali sono?), puoi metterti l'anima in pace: la serie non converge.
Per gli altri valori di $alpha$ devi capire l'ordine di infinitesimo e sfruttare qualche teorema sulla convergenza delle serie...
Non mi resta che augurarti buon lavoro!
Scusa Cirasa se non ho scritto prima, ma l'influenza mi ha impedito di studiare.
Anzi, mi sa che è stato il calcolo di ordine di infinitesimo che me l'ha fatta venire
Grazie comunque per il tuo intervento; purtroppo non riesco proprio a risolvere quel esercizio.
Mi sono, ahimè, arreso.
Sono passato ad uno più facile.
Vorrei capire se il mio discorso è valido.
L'esercizio è il seguente:
$\sum_{n=1}^oo n(sin(1/n^3)+1/n)^\alpha$
Ho trovato che con:
$\alpha =1$ -> la serie converge ad $1$
$\alpha >1$ -> la serie converge a $0$
$\alpha <=0$ -> la serie diverge a $oo$
Dovrebbe essere corretto... spero!
Anzi, mi sa che è stato il calcolo di ordine di infinitesimo che me l'ha fatta venire
Grazie comunque per il tuo intervento; purtroppo non riesco proprio a risolvere quel esercizio.
Mi sono, ahimè, arreso.
Sono passato ad uno più facile.
Vorrei capire se il mio discorso è valido.
L'esercizio è il seguente:
$\sum_{n=1}^oo n(sin(1/n^3)+1/n)^\alpha$
Ho trovato che con:
$\alpha =1$ -> la serie converge ad $1$
$\alpha >1$ -> la serie converge a $0$
$\alpha <=0$ -> la serie diverge a $oo$
Dovrebbe essere corretto... spero!
No, dai, non abbandonare! Facciamo così, ti darò ora un suggerimento più esplicito (sperando di non commettere errori).
Indico con [tex]\sim[/tex] l'equivalenza asintotica fra successioni.
Si ha che
[tex]\displaystyle e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\frac{1}{\sqrt{n}}\sim \frac{1}{2n}[/tex] (tieni conto che [tex]\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}[/tex])
[tex]\displaystyle \left(1-\cos\frac{1}{n}\right)^\alpha\sim\left(\frac{1}{2n^2}\right)^\alpha[/tex]
[tex]\displaystyle \ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\sim\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex]
Quindi la tua serie ha lo stesso comportamento di
[tex]\displaystyle \sum \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot n^{2\alpha}=\sum\frac{1}{n^{3/2-2\alpha}}[/tex].
Ora sei in grado di concludere? Se hai bisogno chiedi pure
Se mi dai qualche minuto, correggerò anche il secondo esercizio.
Indico con [tex]\sim[/tex] l'equivalenza asintotica fra successioni.
Si ha che
[tex]\displaystyle e^{\frac{1}{\sqrt{n}}}-1-\frac{1}{\sqrt{n}}\sim \frac{1}{2n}[/tex] (tieni conto che [tex]\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}[/tex])
[tex]\displaystyle \left(1-\cos\frac{1}{n}\right)^\alpha\sim\left(\frac{1}{2n^2}\right)^\alpha[/tex]
[tex]\displaystyle \ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\sim\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex]
Quindi la tua serie ha lo stesso comportamento di
[tex]\displaystyle \sum \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot n^{2\alpha}=\sum\frac{1}{n^{3/2-2\alpha}}[/tex].
Ora sei in grado di concludere? Se hai bisogno chiedi pure
Se mi dai qualche minuto, correggerò anche il secondo esercizio.
Per quanto riguarda il secondo esercizio, temo che tu abbia confuso la convergenza della seria con la convergenza del termine generale.
In generale, data una serie [tex]\sum a_n[/tex], affinchè essa converga non basta verificare che [tex]a_n\to 0[/tex] per affermare che la serie converge!
Se il termine generale [tex]a_n[/tex] non va a [tex]0[/tex] allora puoi stare certo che la serie non converge, ma se [tex]a_n\to 0[/tex] non è detto che la serie converga.
I risultati che hai ottenuto si riferiscono alla convergenza del termine generale della serie e non della serie!
In generale, data una serie [tex]\sum a_n[/tex], affinchè essa converga non basta verificare che [tex]a_n\to 0[/tex] per affermare che la serie converge!
Se il termine generale [tex]a_n[/tex] non va a [tex]0[/tex] allora puoi stare certo che la serie non converge, ma se [tex]a_n\to 0[/tex] non è detto che la serie converga.
I risultati che hai ottenuto si riferiscono alla convergenza del termine generale della serie e non della serie!
Accidenti che sbadato; ho avuto estrema fretta di concludere
Riguardo il secondo esercizio:
$\sum_{n=1}^oo n(sin(1/n^3)+1/n)^\alpha$
Devo quindi verificare che converga nel caso in cui:
$\alpha >1$; con, cioè, il termine generale che tende a $0$.
Quindi verificatasi la condizione necessaria per la convergenza.
Applicando il criterio del rapporto, ottengo che $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n) $ è pari a $0$, quindi converge.
Dovrebbe essere tutto... spero!
Riguardo il primo simpaticissimo esercizio:
Seguendo il tuo ragionamento arrivo a:
[tex]\displaystyle \sum \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot n^{2\alpha}=\sum\frac{1}{n^{3/2-2\alpha}}[/tex].
In questo caso ho una serie geometrica del tipo $a^n$ che converge per $|a|<1$
che sarà soddisfatto qualora $3/2>2\alpha$ perchè in questo modo avrei il denominatore più grande del numeratore.
Quindi dovrà essere $\alpha <3/4$
Riguardo il tuo metodo risolutivo per la convergenza asintotica, che peraltro ho trovato, nel mio piccolo, eccezionale:
hai considerato $1/(2n)$ tendente ad infinito, uguale a $x^2$ tendente a zero. Come mai? Da cosa nasce questa relazione? Io ho pensato ad una relazione fra $x$ e $1/\sqrtn$ e quindi $x^2$ e $1/n$.
In realtà non mi sono chiare neanche le altre equivalenze; provo a trovare il $\lim_{n \to \infty}(a_n)/(b_n) = 1$ tra le coppie di equazioni asintoticamente equivalenti, ma non lo ottengo. Ho interpretato male la teoria?
Grazie per la pazienza
Riguardo il secondo esercizio:
$\sum_{n=1}^oo n(sin(1/n^3)+1/n)^\alpha$
Devo quindi verificare che converga nel caso in cui:
$\alpha >1$; con, cioè, il termine generale che tende a $0$.
Quindi verificatasi la condizione necessaria per la convergenza.
Applicando il criterio del rapporto, ottengo che $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n) $ è pari a $0$, quindi converge.
Dovrebbe essere tutto... spero!
Riguardo il primo simpaticissimo esercizio:
Seguendo il tuo ragionamento arrivo a:
[tex]\displaystyle \sum \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot n^{2\alpha}=\sum\frac{1}{n^{3/2-2\alpha}}[/tex].
In questo caso ho una serie geometrica del tipo $a^n$ che converge per $|a|<1$
che sarà soddisfatto qualora $3/2>2\alpha$ perchè in questo modo avrei il denominatore più grande del numeratore.
Quindi dovrà essere $\alpha <3/4$
Riguardo il tuo metodo risolutivo per la convergenza asintotica, che peraltro ho trovato, nel mio piccolo, eccezionale:
hai considerato $1/(2n)$ tendente ad infinito, uguale a $x^2$ tendente a zero. Come mai? Da cosa nasce questa relazione? Io ho pensato ad una relazione fra $x$ e $1/\sqrtn$ e quindi $x^2$ e $1/n$.
In realtà non mi sono chiare neanche le altre equivalenze; provo a trovare il $\lim_{n \to \infty}(a_n)/(b_n) = 1$ tra le coppie di equazioni asintoticamente equivalenti, ma non lo ottengo. Ho interpretato male la teoria?
Grazie per la pazienza
Allora, procediamo con ordine...
Ci sono un po' di cose da sistemare. Vediamo il primo esercizio simpatico.
E' giusto dire che la serie geometrica ha il termine generale [tex]\displaystyle a^n[/tex], ma il termine generale di questa serie è del tipo [tex]\displaystyle \frac{1}{n^x}[/tex], che è diverso!
Prova a rivederti lo studio della convergenza delle serie del tipo [tex]\displaystyle \sum \frac{1}{n^x}[/tex], poi ne riparliamo.
Per quanto riguarda la convergenza asintotica, devi ricordarti i limiti:
[tex]\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}[/tex] (con L'Hopital) da cui segue l'equivalenza asintotica ponendo [tex]\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0[/tex].
[tex]\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}[/tex] da cui segue l'equivalenza asintotica ponendo [tex]\displaystyle x=\frac{1}{n}\to 0[/tex].
[tex]\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1[/tex] da cui segue l'equivalenza asintotica ponendo [tex]\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0[/tex].
Edit: Avevo sbagliato a scrivere il limite notevole con il logaritmo.Corretto!
Ci sono un po' di cose da sistemare. Vediamo il primo esercizio simpatico.
"faximusy":
[tex]\displaystyle \sum \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot n^{2\alpha}=\sum\frac{1}{n^{3/2-2\alpha}}[/tex].
In questo caso ho una serie geometrica del tipo $a^n$ che converge per $|a|<1$
E' giusto dire che la serie geometrica ha il termine generale [tex]\displaystyle a^n[/tex], ma il termine generale di questa serie è del tipo [tex]\displaystyle \frac{1}{n^x}[/tex], che è diverso!
Prova a rivederti lo studio della convergenza delle serie del tipo [tex]\displaystyle \sum \frac{1}{n^x}[/tex], poi ne riparliamo.
Per quanto riguarda la convergenza asintotica, devi ricordarti i limiti:
[tex]\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}[/tex] (con L'Hopital) da cui segue l'equivalenza asintotica ponendo [tex]\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0[/tex].
[tex]\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}[/tex] da cui segue l'equivalenza asintotica ponendo [tex]\displaystyle x=\frac{1}{n}\to 0[/tex].
[tex]\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1[/tex] da cui segue l'equivalenza asintotica ponendo [tex]\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0[/tex].
Edit: Avevo sbagliato a scrivere il limite notevole con il logaritmo.Corretto!
"faximusy":
Riguardo il secondo esercizio:
$\sum_{n=1}^oo n(sin(1/n^3)+1/n)^\alpha$
Devo quindi verificare che converga nel caso in cui:
$\alpha >1$; con, cioè, il termine generale che tende a $0$.
Quindi verificatasi la condizione necessaria per la convergenza.
Applicando il criterio del rapporto, ottengo che $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/(a_n) $ è pari a $0$, quindi converge.
E' giusto che devi scoprire se converge nel caso [tex]\displaystyle \alpha>1[/tex]. Negli altri casi certamente non converge.
Non capisco però come usi il criterio del rapporto. Non credo che tu lo abbia fatto per bene, anche perchè il criterio del rapporto in questo caso porta a calcoli abbastanza difficoltosi.
Il metodo di risoluzione è simile all'altro esercizio: l'equivalenza asintotica.
"cirasa":
ma il termine generale di questa serie è del tipo [tex]\displaystyle \frac{1}{n^x}[/tex], che è diverso!
Prova a rivederti lo studio della convergenza delle serie del tipo [tex]\displaystyle \sum \frac{1}{n^x}[/tex], poi ne riparliamo.
Quindi una serie armonica generalizzata!
In questo corretto caso quindi converge per $x>1$
In particolare quindi: $3/2-2\alpha>1$ che ci porta a concludere: $\alpha>1/4$
Per quanto riguarda la convergenza asintotica, ci siamo!
Ho capito
Inserisco $x$ o $x^2$ a seconda che mi serva derivare una o due volte con De L'Hopital, poi sostituisco con la n e moltiplico per il risultato del limite.Usando questo metodo per il secondo esercizio:
ricavo che $(sin(1/n^3)+1/n)^\alpha \sim 1/n^\alpha$
quindi posso considerare la funzione come equivalente a: $\sum_{n=1}^oo n(1/n^\alpha)
quindi pari a $\sum_{n=1}^oo (1/n^(\alpha-1))$, che è sempre armonica generalizzata (ora non sbaglio più
)deve essere $\alpha-1>1$ allora $\alpha>2$
... è venuto troppo facile, sono sicuro di aver sbagliato qualcosa
Ora dovrebbe essere 
Grazie di tutto Cirasa!
Sei stato molto disponibile e gentilissimo!
Sei stato molto disponibile e gentilissimo!
Prego! 
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