Discussione serie
Scusate se già posto un altro esercizio ma fra pochi giorni ho l'esame...
Discutere la serie $\sum_{n=1}^\infty\frac{(x-1)^n}{\sqrt{n}}$.
Dunque per prima cosa ho visto il caso in cui $x=1$ in cui la serie dovrebbe valere zero (somma infinita di zeri).
Poi ho visto il caso $0
Poi ho visto il caso $x-1>1$ in cui, sempre utilizzando il criterio del rapporto, la serie dovrebbe divergere a $+\infty$ in quanto il limite viene esattamente $x-1$ che è maggiore di 1.
Ora però non so bene cosa devo applicare nel caso in cui $x-1$ sia minore di zero... in questo caso infatti la serie non è più a termini positivi.
Grazie ancora.
Discutere la serie $\sum_{n=1}^\infty\frac{(x-1)^n}{\sqrt{n}}$.
Dunque per prima cosa ho visto il caso in cui $x=1$ in cui la serie dovrebbe valere zero (somma infinita di zeri).
Poi ho visto il caso $0
Poi ho visto il caso $x-1>1$ in cui, sempre utilizzando il criterio del rapporto, la serie dovrebbe divergere a $+\infty$ in quanto il limite viene esattamente $x-1$ che è maggiore di 1.
Ora però non so bene cosa devo applicare nel caso in cui $x-1$ sia minore di zero... in questo caso infatti la serie non è più a termini positivi.
Grazie ancora.
Risposte
Ho provato a dare uno sguardo al link che mi hai proposto, però ciò nonostante non riesco a sbloccare la situazione.
Ho solo provato a considerare anche il caso $x-1=1$ in cui ho sempre una serie a termini positivi ma se applico il criterio del rapporto ottengo $1$ e quindi non posso concludere nulla.
Ho visto poi che se $x-1<0$ posso scrivere la serie di partenza come $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}$ che è a segni alterni. Posso quindi tentare di applicare il criterio della convergenza assoluta e considerare quindi $\sum_{n=1}^\infty\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}$, che è convergente se $-1
Rimane inoltre il caso $x-1<-1$ in cui la serie diverge assolutamente e per il quale pertanto non posso applicare il criterio di cui prima.
Ho solo provato a considerare anche il caso $x-1=1$ in cui ho sempre una serie a termini positivi ma se applico il criterio del rapporto ottengo $1$ e quindi non posso concludere nulla.
Ho visto poi che se $x-1<0$ posso scrivere la serie di partenza come $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}$ che è a segni alterni. Posso quindi tentare di applicare il criterio della convergenza assoluta e considerare quindi $\sum_{n=1}^\infty\frac{(1-x)^n}{\sqrt{n}}$, che è convergente se $-1
Rimane inoltre il caso $x-1<-1$ in cui la serie diverge assolutamente e per il quale pertanto non posso applicare il criterio di cui prima.
Un passo indietro prima di uno avanti.
Hai $sum (x-1)^n/sqrt(n)$; applicando il criterio del rapporto (potresti anche applicare quello della radice... Ad ogni modo, non dimenticare i valori assoluti!!!) trovi che la tua serie converge se $|x-1|<1$ mentre diverge se $|x-1|>1$; rimangono dubbi i casi $|x-1|=1$, ossia $x-1=pm 1$.
Ora se metti $x-1=1$, la tua serie diventa semplicemente $\sum 1/sqrt(n)$ che è armonica generalizzata con esponente $1/2$, quindi...
Invece se metti $x-1=1$ la tua serie diventa $sum (-1)^n 1/sqrt(n)$ che è a segni alterni; per determinare se converge, prova a controllare se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Leibniz.
Hai $sum (x-1)^n/sqrt(n)$; applicando il criterio del rapporto (potresti anche applicare quello della radice... Ad ogni modo, non dimenticare i valori assoluti!!!) trovi che la tua serie converge se $|x-1|<1$ mentre diverge se $|x-1|>1$; rimangono dubbi i casi $|x-1|=1$, ossia $x-1=pm 1$.
Ora se metti $x-1=1$, la tua serie diventa semplicemente $\sum 1/sqrt(n)$ che è armonica generalizzata con esponente $1/2$, quindi...
Invece se metti $x-1=1$ la tua serie diventa $sum (-1)^n 1/sqrt(n)$ che è a segni alterni; per determinare se converge, prova a controllare se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Leibniz.
Non capisco come fai a ridurti così presto ai soli casi $x-1=\pm 1$. Lo fai perchè utilizzi i valori assoluti, cioè poni prima $|x-1|<1$ e poi $|x-1|>1$... ma io avrei fatto $x-1<1$ e $x-1>1$ per esempio.
Comunque l'armonica generalizzata con esponente $\frac{1}{2}$ diverge in quanto $0<\frac{1}{2}\leq 1$.
Comunque l'armonica generalizzata con esponente $\frac{1}{2}$ diverge in quanto $0<\frac{1}{2}\leq 1$.
"booleandomain":
Non capisco come fai a ridurti così presto ai soli casi $x-1=\pm 1$. Lo fai perchè utilizzi i valori assoluti, cioè poni prima $|x-1|<1$ e poi $|x-1|>1$... ma io avrei fatto $x-1<1$ e $x-1>1$ per esempio.
Non pongo nulla...
Semplicemente mi ricordo che, data una serie $sum a_n$, i soli casi dubbi per il criterio del rapporto sono quelli in cui risulta $lim_n |a_(n+1)|/|a_n|=1$ (infatti se $lim_n |a_(n+1)|/|a_n|<1$ la serie converge (assolutamente) mentre se $lim_n |a_(n+1)|/|a_n|>1$ la serie diverge*).
Visto che $lim_n |a_(n+1)|/|a_n|=|x-1|$ i casi dubbi per la tua serie sono, appunto, $x-1=pm 1$ cioè $x=2$ oppure $x=0$.
I valori assoluti vanno sempre usati quando si applicano i criteri della radice e del rapporto.
"booleandomain":
Comunque l'armonica generalizzata con esponente $\frac{1}{2}$ diverge in quanto $0<\frac{1}{2}\leq 1$.
Certo.
__________
* Ricordo, per far piacere a chi le cose le vuole esposte in tutta la loro generalità, che il criterio del rapporto assicura convergenza assoluta se $"maxlim"_n |a_(n+1)|/|a_n|<1$ e divergenza se $"minlim"_n |a_(n+1)|/|a_n|>1$.
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