Discussione modulo

[Frasandro]

Ciao ragazzi,

volevo sapere se la discussione di questi valori assoluti sono esatti:

$ |4x^2-1|={ ( 4x^2-1; x<= -1/2 vv x>=1/2 ),( 1-4x^2; -1/2<=x<=1/2):} $

e

$ |2x-1|={ ( 2x-1; x>=1/2 ),( 1-2x; x<1/2):} $

[axpgn]

Riguardo al primo modulo, il segno di uguaglianza va messo solo in uno dei due casi, non ti pare?

[Frasandro]

Mmmmm direi di toglierlo "sotto", nelle soluzioni interne....

[Frasandro]

Riguardando questo esercizio mi è venuto un dubbio. Ho fatto la ricerca dei massimi e minimi, dai miei calcoli risulta un solo punto di massimo $ max(1/4,1/4) $ nell'intervallo $ -1/2

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[mazzarri1]

ciao Frasandro

OK per i punti angolosi ma il massimo è in $(0,1)$ non trovi?

[Frasandro]

"mazzarri":

OK per i punti angolosi ma il massimo è in $(0,1)$ non trovi?

$(0,1)$
dopo la discussione dei moduli ottengo la funzione così definita \( f(x)=\begin{cases} ( 4x^2+2x-2 ), -\infty
e le rispettive derivate sono: \( f'(x)=\begin{cases} ( 8x+2 ), -\infty
Dalla prima e terza equazione trovo $ x=-1/4 vv x=1/4 $, ma sono valori da scartare poichè non rientrano nel dominio;

Dalla seconda trovo $ x=1/4 $ ....

[mazzarri1]

Forse non ci capiamo

se la funzione è

$|4x^2-1|$

perchè così tu hai scritto sopra

diventa

$f(x) = 4x^2-1$ per $x<=1/2$ vel $x>=1/2$
$f(x) = 1-4x^2$ per $-1/2
e la derivata è

$f'(x) = 8x$ per $x<1/2$ vel $x>1/2$
$f'(x) = -8x$ per $-1/2
non capisco da dove arrivi la nuova funzione che scrivi adesso

[Frasandro]

chiedo scusa... la mia funzione è: $ f(x)= |4x^2-1|-|2x-1| $ ;

[Frasandro]

"Frasandro":chiedo scusa... la mia funzione è: $ f(x)= |4x^2-1|-|2x-1| $ ;

io la funzione l'ho studiata in questo modo: $ { ( 4x^2+2x-2 ),( -4x^2+2x ),( 4x^2-2x):} $

e facendo le derivate trovo solo questo punto $ max(1/4,1/4) $ ma facendo la verifica su wolfram alpha non mi corrisponde . ho sbagliato forse il dominio $ { ( -oo

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[adaBTTLS1]

non conosco wolfram alpha...
i calcoli mi sembrano esatti, però, a parte $f(1/2)=0$ che è un minimo relativo, $f(-1/2)= -2$ che è un minimo relativo ma anche il minimo assoluto, $f(1/4)=1/4$ che è un massimo relativo, non ci sono massimi assoluti (il codominio è $[-2, +oo)$).
qual è il problema che non torna?

[Frasandro]

io avevo trovato solo il punto di massimo $(1/4, 1/4)$, gli altri come si ottengono?

[adaBTTLS1]

i max e min relativi possono essere, oltre ai punti stazionari, anche altri punti singolari come quelli angolosi:
il "teorema" dice che in un punto di max o min relativo, se la derivata esiste, allora deve valere zero; cioè la derivata può non esistere.
dunque, per la ricerca di max e min relativi, gli eventuali punti sono:
gli estremi del dominio;
i punti di non derivabilità;
i punti stazionari.
i punti angolosi, a confine delle tre parti in cui hai suddiviso il dominio, vanno comunque considerati a parte:
$x=+-1/2$ l'hai trovato tu: basta sostituire per trovare i valori della funzione.
OK'

[Frasandro]

a mesi di distanza riprendo questa discussione perchè ho ancora dubbi in merito ai punti di massimo e minimo di questa funzione...

"Frasandro":la mia funzione è: $ f(x)= |4x^2-1|-|2x-1| $ ;

ho una confusione immane e non riesco a venirne fuori... avrei bisogno di una mano

Grazie

[adaBTTLS1]

riprendo un vecchio messaggio per ripartire da lì e provare a scrivere una tabella che spero sia leggibile.

"Frasandro":
dopo la discussione dei moduli ottengo la funzione così definita \( f(x)=\begin{cases} ( 4x^2+2x-2 ), -\infty
e le rispettive derivate sono: \( f'(x)=\begin{cases} ( 8x+2 ), -\infty
Dalla prima e terza equazione trovo $ x=-1/4 vv x=1/4 $, ma sono valori da scartare poichè non rientrano nel dominio;

Dalla seconda trovo $ x=1/4 $ ....

L'unica correzione da fare è sulle diseguaglianze in senso lato che devono essere diseguaglianze in senso stretto sul dominio della derivata, perché non esiste $f'(+-1/2)$.

riepilogando (non basta una tabella, ma la divido in due parti con lo zero ripetuto):

$|(x<-1, x=-1, -10, f=0, f<0, f= -2, f<0, f=0), (f'<0, f'= -6, f'<0, f' notEE, f'>0, f'=2)|$

$|(x=0, 01/2),(f=0, f>0, f=1/4, f>0, f=0, f>0), (f'=2, f'>0, f'=0, f'<0, f' notEE, f'>0)|$

aggiungiamo l'altro dato sulla funzione: $lim_(x-> +-oo) f(x) = +oo$

e, analizzando lo schema, si ha:
$f$ decrescente da $-oo$ a $-2$ per $x in (-oo, -1/2]$, con $f(-1)=0$
$f$ crescente da $-2$ a $1/4$ per $x in [-1/2, 1/4]$, con $f(0)=0$
$f$ decrescente da $1/4$ a $0$ per $x in [1/4, 1/2]$
$f$ crescente da $0$ a $+oo$ per $x in [1/2, +oo)$

puoi anche verificare la non derivabilità in $x=+-1/2$, ma è irrilevante al fine di quello che devi trovare, se usi questo schema.
ci sei?

[Frasandro]

sono cascato nel ridicolo con questo esercizio e nonostante ciò continuo a non capire ;

"adaBTTLS":

L'unica correzione da fare è sulle diseguaglianze in senso lato che devono essere diseguaglianze in senso stretto sul dominio della derivata, perché non esiste $ f'(+-1/2) $.

quindi: \( f'(x)=\begin{cases} ( 8x+2 ), -\infty
per quale motivo $f' (+-1/2)$ non esiste, come facciamo a dire ciò?

La tabella viene visualizzata chiaramente ma non riesco ad interpretarla

[adaBTTLS1]

ti dovrei dire, rigorosamente, di applicare le formule per la derivata destra e sinistra (se sei abituato ad usarle, rivedile), ma ti dico, più terra-terra, di trovarti il limite sinistro e il limite destro delle formule delle derivate che hai trovato:
la prima vale nell'intorno sinistro di $-1/2$ (ti sei perso nella correzione un segno meno), la seconda vale nell'intorno destro di $-1/2$ e nell'intorno sinistro di $+1/2$, la terza vale nell'intorno destro di $+1/2$
se i limiti destro e sinistro coincidessero, potrebbe essere derivabile, ma così non è.

per la tabella, ..., doveva sostituire il grafico dei segni della funzione e della derivata, però con il grafico temo che non sarei riuscita ad allineare... ci provo per dare un'idea, poi puoi riconfrontare i dati con la tabella:

x................ -1 ....... -1/2 ......... 0 ...... 1/4 ...... 1/2 .....................
f(x) ++++++++ 0 ------ -2 ---------- 0 ++++ 1/4 ++++ 0 ++++++++++++++++
f'(x) ---------- -6 ------- n. e. ++++++ 2 ++++ 0 ------- n. e. ++++++++++++++

[Frasandro]

Adesso ci ragiono su... vediamo se riesco a venirne fuori , grazie

[Frasandro]

"adaBTTLS":

e, analizzando lo schema, si ha:
$f$ decrescente da $-oo$ a $-2$ per $x in (-oo, -1/2]$, con $f(-1)=0$
$f$ crescente da $-2$ a $1/4$ per $x in [-1/2, 1/4]$, con $f(0)=0$
$f$ decrescente da $1/4$ a $0$ per $x in [1/4, 1/2]$
$f$ crescente da $0$ a $+oo$ per $x in [1/2, +oo)$

puoi anche verificare la non derivabilità in $x=+-1/2$, ma è irrilevante al fine di quello che devi trovare, se usi questo schema.
ci sei?

finalmente SI !!!

Avrei altri 2 dubbi.

Il primo: ho verificato la non derivabilità in $x=+-1/2$ calcolando semplicemente i limiti agli estremi dei domini. In questi casi posso procedere così oppure devo usare la formula del rapporto incrementale? Quest'ultima quando si usa?

Il secondo:

"adaBTTLS":non conosco wolfram alpha...
i calcoli mi sembrano esatti, però, a parte $ f(1/2)=0 $ che è un minimo relativo, $ f(-1/2)= -2 $ che è un minimo relativo ma anche il minimo assoluto, $ f(1/4)=1/4 $ che è un massimo relativo, non ci sono massimi assoluti (il codominio è $ [-2, +oo) $).
qual è il problema che non torna?

come faccio a capire se sono max\min assoluti o relativi e che differenza c'e'?

Grazie mille e buona domenica

[adaBTTLS1]

sul primo dubbio sarebbe meglio che rispondesse uno specialista, comunque ti dico comunque il mio parere:
secondo i puristi andrebbe fatto sempre il limite del rapporto incrementale, però tu hai ottenuto tre formule di derivate che corrispondono a funzioni ben definite in particolare in quei punti dove devi dimostrare la derivabilità, quindi puoi utilizzare tali formule per trovare i limiti destro e sinistro: se così non fosse, non avrebbe senso neppure utilizzare le formule di derivazione (non potresti neppure dire $f'(1)=8*1-2=6$ ma saresti costretto a fare il limite del rapporto incrementale ..., praticamente lo studio delle derivate non servirebbe a nulla!). quindi direi che è buona norma ricorrere al limite del rapporto incrementale quando la derivata non è ben definita, nel senso che il punto in esame non appartiene all'insieme di esistenza (la funzione derivata definita nell'intorno di un punto $c$ escluso il punto $c$ stesso).

per quanto riguarda l'altro quesito, ti rispondo parzialmente per non appesantire le notazioni, perché dovrebbe essere abbastanza semplice sia la definizione sia l'estensione all'altro caso.
un punto $x_0$ è di max relativo per una funzione $f(x)$ se esiste un intorno completo $I(x_0)$ tale che $f(x)<=f(x_0), AA x in I(x_0)$, cioè se tutti i punti a sinistra e a destra di $x_0$ hanno immagine minore o uguale rispetto all'immagine di $x_0$. un punto $c$ è di massimo assoluto se la sua immagine è maggiore o uguale alle immagini di ogni punto del dominio, cioè se il codominio è limitato superiormente ed $f(c)$ è il massimo del codominio.

buona "parte di domenica che è rimasta" anche a te!

[Frasandro]

eccone un'altra per togliere ogni dubbio e perplessità per filare "liscio come l'olio" in questi casi

$f(x)=|x^2-1|-2x(|x|-1)$ ; analogamente a quanto fatto nell'esercizio precedente, svolgendo i calcoli ottengo:
- un punto di massimo (relativo o assoluto?! ) $Max(1/3,4/3)$;
- 2 punti angolosi $x=+-1$, di cui uno e' un punto di minimo $(-1,0)$;
- in $x=0$ la funzione e' continua e derivabile;


ci siamo ?

[adaBTTLS1]

sì, suppongo che i calcoli siano giusti, perché sono corrette tutte le conclusioni sui punti singolari.
sia il max trovato sia il min trovato sono relativi. per accorgerti che non possono essere assoluti ti manca una piccola parte non svolta del problema: non trovi i limiti agli estremi del dominio?